Hjul–skinne-samvirke

Når et jernbanekjøretøy beveger seg langs et spor, overføres alle bære-, styre-, trekk- og bremsekrefter gjennom en liten kontaktflate mellom stålhjulet og stålskinnen. Dette kapitlet behandler derfor selve grensesnittet mellom hjul og skinne: hvordan hjul- og skinneprofilene styrer kjøretøyet, hvordan kontaktflaten beregnes, og hvordan et for høyt forhold mellom sidekraft og vertikalkraft kan føre til flensklatring.

Kapittel 1 omfatter trafikkbelastning og innledende kontroll av spenningene i skinnene. Det overordnede dynamiske tog–spor-systemet behandles i Kapittel 9. Her brukes disse temaene bare som bakgrunn. I dette kapitlet legges vekten på lokalt hjul–skinne-samvirke: forskjell i rulleradius, ekvivalent konisitet, kurvekjøring, hunting på rett spor, Hertz-kontakt og avsporingskriterier.

10.1 Innledning

Grensesnittet mellom hjul og skinne er lite, men styrer flere virkninger på systemnivå:

Styring: Rulleradiusforskjellen mellom de to hjulene styrer hjulsatsen i kurver og sentrerer den på nytt på rett spor.
Kontakt: Normallasten bæres over en liten elastisk kontaktflate, ofte på bare noen få kvadratcentimeter, og gir høye kontakttrykk.
Friksjon og kryp: Tangentielle krefter oppstår når hjul og skinne har små relative glidninger i lengde-, side- eller spinnretningen.
Avsporingssikkerhet: En kombinasjon av høy sidekraft, lav vertikalkraft og ugunstig kontaktvinkel kan føre til flensklatring.

Dynamisk togbevegelse, sporreceptans og dynamisk forsterkning av vertikallasten behandles i Kapittel 9. I dette kapitlet omtales de bare når de påvirker det lokale kraftforholdet eller kontaktforholdet mellom hjul og skinne.

10.2 Hjulsatser, hjulprofiler og konisitet

Styringen mellom hjul og skinne begynner med selve hjulsatsen. Et jernbanehjul er ikke en sylindrisk rulle: Løpeflaten er profilert, skinnen heller innover, og de to hjulene er stivt forbundet med en aksel. Disse grunnleggende geometriske egenskapene forklarer hvordan en hjulsats kan styre i kurver, hvorfor den svinger på rett spor, og hvorfor ekvivalent konisitet er en av de sentrale profilstørrelsene i kjøretøy–spor-samvirket.

10.2.1 Hjulsatsen

En hjulsats består av to hjul som er stivt forbundet med en aksel. Denne stive forbindelsen er den grunnleggende egenskapen som skiller en hjulsats for jernbane fra en kjøretøyaksel med uavhengig roterende hjul. Begge jernbanehjulene har samme vinkelhastighet. Dersom venstre og høyre rulleradius er forskjellige, forsøker de to hjulene å rulle ulike avstander per omdreining, og hjulsatsen må dreie om vertikalaksen.

Hjulsatsen har tre hovedfunksjoner:

Den gir nødvendig klaring mellom vognkassen og sporkonstruksjonen.
Den gir styring og holder kjøretøyet i riktig spor.
Den overfører trekk- og bremsekrefter til skinnene.

Konstruksjonsdetaljene i en hjulsats, for eksempel bremseskiver, akseltapper og girkasser, avhenger av kjøretøytypen. For styringen mellom hjul og skinne er imidlertid den stive akselen og den profilavhengige rulleradiusforskjellen avgjørende. Før geometrien reduseres til én konisitetsverdi, må derfor det faktiske hjulprofilet identifiseres.

10.2.2 Hjulprofiler

En hjulprofil er tverrsnittet av hjulets løpeflate og flens og definerer løpeflatens geometri. Løpeflaten bærer den normale rullekontakten på rett spor og i kurver med stor radius. Flensroten og flensen gir ytterligere sidestyring når styringen gjennom løpeflaten ikke er tilstrekkelig, for eksempel i krappe kurver eller under ugunstige kontaktforhold.

Virkelige hjulprofiler er ikke perfekte kjegler. De bygges opp av rette partier, buer, avrundinger og flensgeometri slik at kontaktpunktet kan flytte seg gradvis over løpeflaten når hjulsatsen beveger seg sideveis. I europeisk praksis er standardiserte løpeflateprofiler spesifisert i EN 13715. Et vanlig eksempel er slitasjeprofilet UIC/ORE S1002, som ble innført som et profil tilpasset slitasje [93, 116, 117]. Figur 10.1 viser et viktig poeng: Den nominelle helningen på løpeflaten er bare én del av en langt mer sammensatt profilgeometri.

Figur 10.1 Hjulprofilet UIC/ORE S1002 [116].

Skinneprofilet og skinnehellingen må vurderes sammen med hjulprofilet. Et hjulprofil som gir gunstig kontakt på én skinneprofil, kan gi en annen bane for kontaktpunktet og en annen rulleradiusforskjell på en annen skinne. Derfor definerer neste avsnitt først det enkle konisitetsbegrepet og innfører deretter ekvivalent konisitet som en størrelse for profilparet hjul–skinne.

10.2.3 Hjulkonisitet

Hjulets løpeflate er ikke sylindrisk, men svakt kjegleformet. Denne helningen gir hjulsatsen dens selvstyrende egenskap. Figur 10.2 definerer det grunnleggende målet for konisitet.

Figur 10.2 Definisjon av konisiteten til hjulets løpeflate.

La \(\delta r\) betegne endringen i rulleradius for ett hjul fra den sentrerte posisjonen, og la \(y\) betegne hjulsatsens sideforskyvning. Konisiteten \(\lambda\) er definert som

\[ \lambda = \frac{\delta r}{y} \]

Typiske verdier for den nominelle løpeflatekonisiteten er 1:20 (\(\lambda = 0{,}05\)) eller 1:40 (\(\lambda = 0{,}025\)). Virkelige hjul og skinner er ikke perfekte kjegler. Den praktiske størrelsen er derfor ekvivalent konisitet \(\lambda_{eq}\), som bestemmes fra de faktiske hjul- og skinneprofilene over et angitt område for sideforskyvning.

For en hjulsats som er forskøvet sideveis med \(y\) fra den sentrerte posisjonen, uttrykkes venstre og høyre rulleradius i en linearisert modell for ekvivalent konisitet som

\[ r_L(y)=r_0+\lambda_{eq}y,\qquad r_R(y)=r_0-\lambda_{eq}y, \]

der \(r_0\) er den nominelle rulleradiusen. Den samlede rulleradiusforskjellen mellom de to hjulene er dermed

\[ \Delta r = r_L-r_R = 2\lambda_{eq}y. \]

Tilsvarende er \(\lambda_{eq}=\Delta r/(2y)\) for det valgte området for sideforskyvning.

Skinnehellingen er også viktig. Skinnene heller vanligvis innover, for eksempel 1:20 eller 1:40, slik at normalen til skinnehodet samsvarer bedre med normalen til hjulets løpeflate ved ordinær kontakt på løpeflaten. Når hjulsatsen forskyves sideveis, beveger kontaktpunktene seg på begge profilene. Den lokale hjulhelningen, skinnehellingen og skinnehodets krumning bestemmer sammen kontaktvinkelen, rulleradiusforskjellen og den ekvivalente konisiteten. Derfor er en modell med konstant konisitet nyttig i utledninger, mens profilmålinger er nødvendige for virkelige kjøretøy.

10.3 Styring mellom hjul og skinne i kurver

Kurvekjøring er den første situasjonen der rulleradiusforskjellen blir en praktisk styremekanisme. Ytterhjulet må tilbakelegge en lengre strekning enn innerhjulet. En konisk hjulsats kan gjøre dette uten glidning i kontaktpunktene dersom den forskyves sideveis, slik at ytterhjulet ruller med større rulleradius og innerhjulet med mindre rulleradius, som vist i Figur 10.3.

Figur 10.3 Kurvestyring gjennom rulleradiusforskjell: Ytterhjulet trenger større rulleradius fordi radien til det ytre sporet er større.

Utledningen nedenfor er en ideell geometrisk modell. Den forutsetter rette, koniske hjul, konstant konisitet, ingen flenskontakt, ren rulling i kontaktpunktene, konstant hastighet, ingen treghetskrefter, kurvekjøring ved likevektshastighet og en fri hjulsats som ikke er bundet av boggifjæringen. Disse forutsetningene isolerer den grunnleggende styremekanismen. Virkelige kjøretøy avviker fra modellen gjennom fjæringsstivhet, krypkrefter, profilslitasje, flenskontakt og ubalansert sideakselerasjon.

Betrakt en hjulsats som kjører gjennom en kurve med radius \(R\). Ytterhjulet ruller på en baneradius

\[ R_\text{out}=R+b_0, \]

og innerhjulet ruller på en baneradius

\[ R_\text{in}=R-b_0, \]

der \(b_0\) er halvparten av den effektive avstanden mellom de to kontaktpunktene.

Ved radielt perfekt styring (ingen glidning) må forholdet mellom rulleomkretsene være lik forholdet mellom baneradiene:

\[ \frac{r_\text{out}}{r_\text{in}} = \frac{R + b_0}{R - b_0} \]

La hjulsatsen ha nominell rulleradius \(r_0\). Dersom hjulsatsen forskyves sideveis, kan rulleradiene til ytter- og innerhjulet skrives som

\[ r_\text{out}=r_0+\delta r,\qquad r_\text{in}=r_0-\delta r, \]

der \(\delta r\) er endringen i rulleradius per hjul fra den sentrerte posisjonen. Innsetting av Ligning 10.5 i Ligning 10.4 gir

\[ (r_0+\delta r)(R-b_0)=(r_0-\delta r)(R+b_0). \]

Etter omforming fås

\[ \frac{\delta r}{r_0}=\frac{b_0}{R}, \]

eller tilsvarende

\[ r_\text{out}-r_\text{in}=2\delta r=2r_0\frac{b_0}{R}. \]

Siden konisitetsrelasjonen er \(\delta r=\lambda_{eq}y\), blir sideforskyvningen som er nødvendig for radiell styring

\[ y_R = \frac{b_0 r_0}{\lambda_{eq} R} \]

Med for eksempel \(r_0 = 0{,}5\) m, ekvivalent konisitet 1:20 (\(\lambda_{eq} = 0{,}05\)), \(b_0 = 0{,}75\) m og \(R = 500\) m blir den nødvendige sideforskyvningen

\[ y_R = \frac{(0{,}75\,\mathrm{m})(0{,}5\,\mathrm{m})} {0{,}05(500\,\mathrm{m})} = 0{,}015\,\mathrm{m} = 15\,\text{mm}. \]

Hjulsatsen må dermed forskyves omtrent 15 mm utover for å styre perfekt gjennom denne kurven. Dersom den tilgjengelige klaringen på løpeflaten er mindre enn dette, kan ikke hjulsatsen forbli i ren løpeflatekontakt, og flenskontakt blir sannsynlig.

For virkelig kurvekjøring er dette ideelle resultatet en referanse, ikke en garanti. En hjulsats i en boggi har rotasjonsstivhet om vertikalaksen, primærfjæring, kryp og begrenset klaring. I krappe kurver eller med slitte hjul- og skinneprofiler får den fremste hjulsatsen en anløpsvinkel, og ytterhjulets flens kommer i kontakt med kjørekanten på ytterskinnen. Kontaktnormalen er da ikke lenger tilnærmet vertikal: Den heller som følge av den lokale geometrien til flensen og skinnens kjørekant, slik at en del av normalkraften bidrar direkte til sidestyringen. Derfor knytter kurvekjøring sammen rulleradiusforskjell, ekvivalent konisitet, skinnehelling, flenskontakt, slitasje, kurveskrik og avsporingsfølsomhet.

10.4 Styring mellom hjul og skinne på rett spor

På rett spor finnes ingen kurveradius som skal følges, men den samme geometrien til de koniske hjulene virker likevel når hjulsatsen forskyves sideveis. Resultatet er en sinusbevegelse for den frie hjulsatsen. I et virkelig kjøretøy bestemmer fjæring, dempning, kryp og profilslitasje om denne bevegelsen avtar eller utvikler seg til hunting.

10.4.1 Klingels formel

Den klassiske sinusbevegelsen til en fri, konisk hjulsats kalles Klingels bevegelse. Utledningen nedenfor følger geometrien i Figur 10.4: Sideforskyvningen, vinkelavviket i sporplanet og de ulike rullehastighetene er størrelsene som skaper den sinusformede banen. Utledningen er rent kinematisk: Den forutsetter ren rulling, konstant hastighet, små vinkler, en stiv hjulsats, ingen fjæring og ingen grense for krypkraften.

Figur 10.4 Kinematiske variabler for Klingels bevegelse i en fri, konisk hjulsats.

La \(\psi\) betegne hjulsatsens vinkel i sporplanet, målt fra sporets lengderetning. La \(x\) være avstanden langs sporet. For små vinkler er

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\psi . \]

Rulleradiusforskjellen i Ligning 10.3 gjør at det ene hjulet ruller lenger enn det andre. Den tilhørende krumningen til hjulsatsens bane er

\[ \frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}x} = -\frac{\Delta r}{2b_0r_0} = -\frac{\lambda_{eq}}{b_0r_0}y . \]

Kombinasjon av Ligningene 10.10 og 10.11 gir

\[ \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + \frac{\lambda_{eq}}{b_0r_0}y = 0 . \]

Løsningen er sinusformet:

\[ y(x)=y_0\sin\!\left(\frac{2\pi x}{L_K}+\phi_0\right), \]

med Klingel-bølgelengden

\[ L_K = 2\pi\sqrt{\frac{b_0r_0}{\lambda_{eq}}}. \]

Ved kjørehastigheten \(v\) er den tilhørende kinematiske frekvensen for sinusbevegelsen

\[ f_K = \frac{v}{L_K} = \frac{v}{2\pi}\sqrt{\frac{\lambda_{eq}}{b_0r_0}} \]

når \(v\) uttrykkes i m/s. Ligningene 10.2–10.15 utgjør ofte den mest nyttige familien av Klingel-formler: rulleradier, rulleradiusforskjell, romlig bølgelengde og tidsfrekvens.

Formelens hovedpoeng er kvadratrotavhengigheten av ekvivalent konisitet: For en gitt hjulradius og kontaktpunktavstand gir lavere \(\lambda_{eq}\) en lengre bølgelengde, mens høyere \(\lambda_{eq}\) gir en kortere bølgelengde. Bølgelengden er avstanden gjennom én full sinusformet syklus for hjulsatsen, markert som \(L\) i Figur 10.5; den er en kinematisk banelengde, ikke en egen svingningsform for kjøretøyet.

Figur 10.5 Klingel-bølgelengden til en fri, konisk hjulsats gjennom én sinusformet syklus.

Eksempel.

For \(b_0 = 0{,}75\) m, \(r_0 = 0{,}5\) m og \(\lambda_{eq}=1/20\):

\[ L_K = 2\pi\sqrt{\frac{(0{,}75\,\mathrm{m})(0{,}5\,\mathrm{m})}{0{,}05}} = 2\pi(2{,}74\,\mathrm{m}) \approx 17\,\text{m}. \]

Dersom den samme hjulsatsen kjører med 160 km/h, er \(v=44{,}4\) m/s og

\[ f_K = \frac{44{,}4\,\mathrm{m/s}}{17\,\mathrm{m}} \approx 2{,}6\,\mathrm{Hz}. \]

10.4.2 Stabilitet mot hunting og grensesykluser

Klingel-bølgelengden beskriver den naturlige kinematiske banen til en fri, konisk hjulsats. Virkelige kjøretøy har også fjæringsstivhet, dempning, treghet, krypkrefter og friksjon mellom hjul og skinne. Disse virkningene avgjør om en sideforstyrrelse avtar, forblir en begrenset svingning eller vokser til ustabil hunting.

Det ulineære stabilitetsbildet for hunting vises vanligvis som et diagram over hastighet og amplitude. Den horisontale aksen er kjøretøyhastigheten \(v\), mens den vertikale aksen representerer amplituden til sidesvingningen. De to viktige hastighetene er den ulineære kritiske hastigheten \(v_{\mathrm{crit,nonlin}}\) og den lineære kritiske hastigheten \(v_{\mathrm{crit,lin}}\), som vist i Figur 10.6.

Figur 10.6 Tolkning av hunting-ustabilitet ved hjelp av grensesykluser.

Under den ulineære kritiske hastigheten.

For \(v < v_{\mathrm{crit,nonlin}}\) er kjøretøyet stabilt for de aktuelle forstyrrelsesamplitudene. En sideveis eksitasjon kan starte en hunting-lignende svingning, men fjæringsdempningen og krypkreftene mellom hjul og skinne fjerner energi fra bevegelsen. Svingningen avtar derfor, og hjulsatsen beveger seg tilbake mot den sentrerte kjøreposisjonen.

Mellom den ulineære og den lineære kritiske hastigheten.

For \(v_{\mathrm{crit,nonlin}} < v < v_{\mathrm{crit,lin}}\) er kjøretøyet betinget stabilt. Små forstyrrelser avtar fortsatt, men en tilstrekkelig stor forstyrrelse kan krysse den ustabile grensen i diagrammet. Bevegelsen vokser da ikke uten begrensning; den nærmer seg i stedet en endelig periodisk svingning som kalles en grensesyklus. Derfor kan et kjøretøy bestå en stabilitetskontroll for små forstyrrelser og likevel være følsomt for store sideveis påvirkninger fra sporujevnheter, støt eller profilendringer.

Over den lineære kritiske hastigheten.

For \(v > v_{\mathrm{crit,lin}}\) er den sentrerte kjøretilstanden lineært ustabil. Selv små forstyrrelser har en tendens til å vokse inntil ulineære virkninger, flenskontakt, fjæringsbegrensninger eller friksjon mellom hjul og skinne begrenser amplituden. Drift i dette området er derfor forbundet med selveksitert hunting og er ikke akseptabelt for stabil trafikk.

10.4.3 Begrensninger ved den enkle konisitetsmodellen

Den kinematiske konisitetsmodellen bygger på omfattende forenklinger:

Ren rulling (uten kryp) og konstant hastighet.
Ingen sporujevnheter.
Konstant, linearisert konisitet.
Ingen boggifjæring eller treghet.

I praksis er hjul- og skinneprofiler sammensatte kurver der den ekvivalente konisiteten varierer med sideforskyvningen [121, 102]. Det samme hjulprofilet kan derfor oppføre seg forskjellig på ulike skinneprofiler eller skinnehellinger. Lav ekvivalent konisitet forbedrer stabiliteten mot hunting ved høy hastighet, men kan gi utilstrekkelig rulleradiusforskjell i krappe kurver. Høy ekvivalent konisitet forbedrer styringen i kurver, men forkorter Klingel-bølgelengden og reduserer stabilitetsmarginen mot hunting.

10.5 Kontaktmekanikk mellom hjul og skinne

Den lille kontaktflaten mellom hjul og skinne bærer svært store normale og tangentielle krefter. Kontaktmekanikken er derfor sentral for styring, slitasje, rullende kontaktutmattelse og avsporing ved flensklatring. Kapittel 4 introduserte slitasje på skinnehodet og RCF fra et feilperspektiv. Kontaktmekanikken som utvikles her, forklarer disse mekanismene og danner grunnlaget for eksitasjon av rullestøy som behandles i kapittel 12.

10.5.1 Kontaktområder

Tre geometriske kontaktområder kan skilles fra hverandre (Figur 10.7):

Område A: Løpeflate mot skinnehode: Den vanligste kontaktsituasjonen på rett spor. Kontaktarealet er relativt stort, og kontaktspenningene er moderate.
Område B: Flens mot kjørekant: Flenskontakt oppstår i krappe kurver når den fremste hjulsatsen vanligvis presser ytterhjulets flens mot kjørekanten på ytterskinnen. Kontaktarealet er mye mindre, noe som gir svært høye kontaktspenninger og rask slitasje på både flensen og skinnens kjørekant.
Område C: Kontakt på utsiden av skinnehodet: Den minst sannsynlige situasjonen, med middels stort kontaktareal, men ugunstig retning på sidekraften.

Kontakten kan videre klassifiseres som konform (større kontaktareal, for eksempel slitt flens/kjørekant) eller ikke-konform (lite kontaktareal, ordinær kontakt mellom løpeflate og skinnehode).

Figur 10.7 Kontaktgeometri mellom hjul og skinne. Øverste rad viser kontaktområdene A–C, inndelt etter kontaktplassering og spenningsnivå; markørene 1–6 i nederste rad identifiserer de tilhørende delene av hjulprofilet og skinneprofilet [117].

10.5.2 Normal og tangentiell kontakt

Den normale kontaktkraften \(N\) bestemmes hovedsakelig av hjullasten og kontaktgeometrien. De tangentielle kreftene bestemmes av små relative bevegelser mellom hjul og skinne:

Langsgående kryp: skyldes trekkraft, bremsing eller et lite avvik mellom rullehastigheten og kjøretøyhastigheten.
Lateralt kryp: skyldes sidebevegelse og anløpsvinkel.
Spinn: skyldes relativ rotasjon av kontaktflaten om normalretningen.

Ved lite kryp er den tangentielle kraften tilnærmet proporsjonal med krypet. Ved større kryp mettes kraften ved friksjonsgrensen:

\[ \sqrt{X^2+Y^2} \leq \mu N, \]

der \(X\) er den langsgående krypkraften, \(Y\) er krypkraften i sideretningen, og \(\mu\) er friksjonskoeffisienten mellom hjul og skinne. Kurvekjøring, hunting og flensklatring er derfor både geometriske og friksjonsmessige problemer: De avhenger av om kontaktflaten kan overføre den nødvendige tangentielle kraften uten glidning.

10.5.3 Hertz-kontaktteori

For ikke-konform kontakt forutsier Hertz-teorien [117, 108] en elliptisk kontaktflate, forutsatt at følgende betingelser er oppfylt:

Deformasjoner og tøyninger er små (lineært elastisk materiale).
Kontaktflaten er liten sammenlignet med dimensjonene til begge legemene (halvromsforutsetningen).
Overflatenes krumning nær kontaktpunktet er konstant.
Overflatene er glatte og friksjonsfrie.
Det oppstår bare elastiske forskyvninger.
Begge legemene er homogene og isotrope.

Figur 10.8 viser hjul- og skinneradiene som brukes i beregningen av Hertz-kontakten.

Figur 10.8 Fire hovedkrumningsradier som definerer kontaktgeometrien i Hertz-teorien.

Geometrien beskrives av fire hovedkrumningsradier:

\[ \begin{aligned} r_{x1} &= \text{hjulradius (langsgående)} \approx r_0 \\ r_{x2} &= \text{skinneradius (langsgående)} \approx \infty \\ r_{y1} &= \text{hjulradius (sideveis)} \\ r_{y2} &= \text{skinnehoderadius (sideveis)} \end{aligned} \]

To hjelpeparametere, \(A\) og \(B\), defineres som:

\[ \begin{aligned} A &= \frac{1}{2}\!\left(\frac{1}{r_{x1}} + \frac{1}{r_{x2}}\right),\\ B &= \frac{1}{2}\!\left(\frac{1}{r_{y1}} + \frac{1}{r_{y2}}\right) \end{aligned} \]

og Hertz-vinkelen:

\[ \theta = \arccos\!\left(\frac{B - A}{A + B}\right) \]

Konstantene \(m\) og \(n\) i ligningene for halvaksene er ikke materialkonstanter. De er geometriske Hertz-konstanter som avleses fra Tabell 10.1 ved hjelp av Hertz-vinkelen \(\theta\). Dersom \(\theta\) ligger mellom to tabellverdier, brukes lineær interpolasjon. For eksempel gir \(\theta=50^\circ\) verdiene \(m=1{,}754\) og \(n=0{,}641\), mens \(\theta=56{,}6^\circ\) finnes ved interpolasjon mellom \(55^\circ\) og \(60^\circ\). Ved avlesning følges hver trekolonneblokk ovenfra og ned, først blokken til venstre, deretter den i midten og til slutt den til høyre; \(\theta\) øker gjennom hele tabellen.

\(\theta\) [\(^\circ\)]	\(m\)	\(n\)	\(\theta\) [\(^\circ\)]	\(m\)	\(n\)	\(\theta\) [\(^\circ\)]	\(m\)	\(n\)
0,5	61,400	0,1018	55,0	1,611	0,678	130,0	0,6410	1,754
1,0	36,890	0,1314	60,0	1,486	0,717	135,0	0,6040	1,926
1,5	27,480	0,1522	65,0	1,378	0,759	140,0	0,5670	2,136
2,0	22,260	0,1691	70,0	1,284	0,802	145,0	0,5300	2,397
3,0	16,500	0,1964	75,0	1,202	0,846	150,0	0,4930	2,731
4,0	13,310	0,2188	80,0	1,128	0,893	160,0	0,4123	3,813
6,0	9,790	0,2552	85,0	1,061	0,944	170,0	0,3112	6,604
8,0	7,860	0,2850	90,0	1,000	1,000	172,0	0,2850	7,860
10,0	6,604	0,3112	95,0	0,944	1,061	174,0	0,2552	9,790
20,0	3,813	0,4123	100,0	0,893	1,128	176,0	0,2188	13,310
30,0	2,731	0,4930	105,0	0,846	1,202	177,0	0,1964	16,500
35,0	2,397	0,5300	110,0	0,802	1,284	178,0	0,1691	22,260
40,0	2,136	0,5670	115,0	0,759	1,378	178,5	0,1522	27,480
45,0	1,926	0,6040	120,0	0,717	1,486	179,0	0,1314	36,890
50,0	1,754	0,6410	125,0	0,678	1,611	179,5	0,1018	61,400

Tabell 10.1 Hertz-konstantene \(m\) og \(n\) som funksjon av Hertz-vinkelen \(\theta\).

Den kombinerte elastisitetsmodulen er:

\[ \frac{1}{E^*} = \frac{1 - \nu_1^2}{E_1} + \frac{1 - \nu_2^2}{E_2} \]

Halvaksene til den elliptiske kontaktflaten er:

\[ \begin{aligned} a &= m \cdot \sqrt[3]{\frac{3N}{4E^*(A+B)}} \\ b &= n \cdot \sqrt[3]{\frac{3N}{4E^*(A+B)}} \end{aligned} \]

der \(N\) er den normale kontaktkraften, \(a\) er den langsgående halvaksen, og \(b\) er halvaksen i sideretningen for den elliptiske kontaktflaten.

Beregningen kan dermed leses som en kjede fra kontaktgeometri til kontakttrykk: Radiene bestemmer \(A\) og \(B\), deretter vinkelen \(\theta\), konstantene \(m\) og \(n\), halvaksene \(a\) og \(b\), arealet \(A_c\) og til slutt \(P_{z,\max}\). Figur 10.9 viser de to fysiske størrelsene bak de endelige trykkligningene: kontaktellipsen og trykkfordelingen over den.

Figur 10.9 Kontaktflate og trykkfordeling i Hertz-teorien.(a) Elliptisk kontaktflate med halvaksene a og b; og (b) Hertz-trykkfordeling over den samme kontaktflaten.

Figur 10.9 Kontaktflate og trykkfordeling i Hertz-teorien.(a) Elliptisk kontaktflate med halvaksene a og b; og (b) Hertz-trykkfordeling over den samme kontaktflaten.

Kontaktarealet og trykkfordelingen er:

\[ \begin{aligned} A_c &= \pi \, a \, b \\ P_z(x,y) &= \frac{3N}{2A_c}\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}} \end{aligned} \]

Det maksimale kontakttrykket (i sentrum av kontaktflaten) er:

\[ P_{z,\max} = \frac{3N}{2A_c} \]

Regneeksempel (Hertz-kontaktflate).

Med \(r_{x1} = 0{,}46\) m, \(r_{y1} = r_{y2} = 0{,}30\) m, \(r_{x2} \to \infty\), \(E = 210\,\text{GPa}\), \(\nu = 0{,}25\) og \(N = 60\) kN:

\[ \begin{aligned} A &= 1{,}087\,\mathrm{m^{-1}}, & B &= 3{,}333\,\mathrm{m^{-1}},\\ \theta &\approx 60^\circ, & m &= 1{,}486, & n &= 0{,}717. \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} a &= 6{,}68\,\text{mm}, & b &= 3{,}22\,\text{mm},\\ A_c &= \pi(6{,}68\,\mathrm{mm})(3{,}22\,\mathrm{mm}) = 67{,}6\,\mathrm{mm}^2. \end{aligned} \]

Det tilhørende midlere Hertz-trykket er

\[ \bar{p}=\frac{N}{A_c} =\frac{60\,000\,\mathrm{N}}{67{,}6\,\mathrm{mm}^2} \approx 888\,\mathrm{N\,mm^{-2}}, \]

og det maksimale trykket for den halvellipsoidiske Hertz-fordelingen er

\[ p_0=\frac{3N}{2A_c} =\frac{3(60\,000\,\mathrm{N})}{2(67{,}6\,\mathrm{mm}^2)} \approx 1330\,\mathrm{N\,mm^{-2}}. \]

Dette eksemplet viser hele beregningskjeden fra geometri og last til kontaktellipsens størrelse og trykknivå. Endringer i hjulradius, skinnehoderadius eller hjulprofilets krumning behandles ved å gjenta de samme trinnene med de oppdaterte radiene.

Forenklet beregning av kontaktspenning.

For raske kontroller foreslo Eisenmann en forenklet formel for den midlere kontaktspenningen basert på den effektive hjullasten og hjulradiusen. Figur 10.10 viser idealiseringen bak denne overslagsberegningen.

Figur 10.10 Forenklet linjekontaktidealisering for Eisenmanns beregning [64, 68].

I denne skissen overføres hjullasten gjennom en liten kontaktbredde. Den maksimale spenningen opptrer nær sentrum av kontakten, mens den forenklede formelen beregner den tilhørende midlere kontaktspenningen som en forenklet kontroll.

Med \(E=210\,000\) N/mm\(^2\), \(\nu=0{,}30\) og en antatt halv kontaktstripebredde på 6 mm blir det praktiske uttrykket [64, 68, 15]:

\[ q_\text{mean} = 1374\sqrt{\frac{Q_0}{R_w}} \]

der \(Q_0\) er den statiske eller kvasistatiske hjullasten i kN, og \(R_w\) er hjulradiusen i mm, slik at \(q_\text{mean}\) fås i \(\mathrm{N\,mm^{-2}}\). Avhengigheten er dermed \(\sqrt{Q_0/R_w}\); kvadratroten omfatter hele forholdet \(Q_0/R_w\). Denne linjekontaktmodellen for en innledende kontroll er forskjellig fra den fullstendige Hertz-ellipsen som er beregnet ovenfor, og samsvarer med Ligning 1.5 i Kapittel 1.

10.5.4 Begrensninger ved Hertz-teorien

Hertz-teorien kan ikke beskrive følgende tilfeller nøyaktig:

Flenskontakt (svært konformt, ikke-elliptisk kontaktareal).
Slitte eller sammensatte skinne-/hjulprofiler med varierende krumning.
Kontakt i sporveksler og sporkryss, der profilene endres brått.

I disse tilfellene brukes avanserte kontaktmetoder eller flerlegememetoder som CONTACT i stedet for den enkle Hertz-tilnærmingen.

10.6 Avsporing

Avsporing utgjør det dimensjonerende sikkerhetstilfellet for styring og kontakt mellom hjul og skinne. Dette avsnittet retter oppmerksomheten mot de lokale hjul–skinne-mekanismene: flensklatring, kraftforholdet \(Y/Q\), kontaktvinkelen og friksjonen. Overordnet stabilitet for sporpanelet og kontroll av kjøretøyvelt behandles andre steder i jernbaneteknisk prosjekteringspraksis.

10.6.1 Definisjon og typer avsporing

En avsporing oppstår når et tog kjører av skinnene. Årsakene omfatter blant annet for store sidekrefter, feil i sporgeometrien, skinnebrudd, sporveksler, kollisjoner og driftsfeil. De fire hovedtypene avsporing er:

Flensklatring: Hjulet klatrer over skinnehodet via flensen.
Sporutvidelse: Skinnene beveger seg fra hverandre slik at hjulet faller mellom dem.
Sporforskyvning: Hele sporpanelet beveger seg sideveis.
Kjøretøyvelt: Kjøretøyet velter på grunn av for store sentrifugal- eller vindkrefter.

Eksemplene i Figur 10.11 bruker samme nummerering som listen ovenfor, slik at hver mekanisme kan knyttes direkte til det representative bildet. Kategoriene følger den vanlige inndelingen av avsporingsmekanismer i referanser om kjøretøy–spor-dynamikk og jernbaneteknikk [117, 68].

Figur 10.11 Fire representative avsporingsmekanismer [117, 68].(1) Flensklatring; (2) Sporutvidelse; (3) Sporforskyvning; og (4) Kjøretøyvelt.

Figur 10.11 Fire representative avsporingsmekanismer [117, 68].(1) Flensklatring; (2) Sporutvidelse; (3) Sporforskyvning; og (4) Kjøretøyvelt.

Den 15. februar 2012 sporet nordgående tog 12926 av nær Nykirke stasjon på Vestfoldbanen (Figur 10.12). Ulykkesundersøkelsen viste at toget kjørte for fort på strekningen etter en hastighetsreduksjon fra 130 til 70 km/h før en kurve [1]. Hendelsen viser at avsporingsrisiko omfatter mer enn spørsmål om kontakt mellom hjul og skinne; driftshastighet, sikkerhetsbarrierer for hastighetsovervåking og strekningskunnskap kan også være avgjørende.

Figur 10.12 Togavsporing nær Nykirke stasjon på Vestfoldbanen, 15. februar 2012 [1].

10.6.2 Mekanismen ved flensklatring

Ved begynnende flensklatring deles kontaktnormalen og friksjonskraften opp i vertikale og sideveis komponenter. Kraftskissen i Figur 10.13 definerer størrelsene som brukes i Nadal-utledningen: vertikal hjullast \(Q\), sidekraft \(Y\), kontaktnormal \(N\), flensvinkel \(\beta\) og friksjonskoeffisient \(\mu\).

Figur 10.13 Oppløsning av krefter ved flensklatring.

Flensklatring foregår i tre faser:

Under påvirkning av en sidekraft beveger hjulet seg mot skinnen og får flenskontakt. En krypkraft i kontaktpunktet motvirker til å begynne med klatringen.
Når flensvinkelen øker, skifter sidekomponenten av krypkraften retning og begynner å bidra til klatringen.
Når hjulet passerer den største kontaktvinkelen, skifter krypkraften retning igjen, men da kan hjulet allerede være på vei over skinnehodet.

Tre grunnleggende forhold fremmer flensklatring:

En stor sidekraft \(Y\) som presser hjulet mot skinnen.
Et høyt \(Y/Q\)-forhold, det vil si stor sidekraft kombinert med redusert vertikallast \(Q\) på hjulet med flenskontakt.
En positiv anløpsvinkel mellom hjulsatsen og skinnen, som skaper ytterligere sidekraft.

I faseskissen svarer de tre delbildene til de nummererte fasene ovenfor: innledende flenskontakt, retningsskifte for krypkraften og den endelige risikoen for at hjulet klatrer over skinnen (Figur 10.14).

Figur 10.14 Tre faser ved avsporing gjennom flensklatring: innledende flenskontakt, retningsskifte for krypkraften og endelig risiko for klatring over skinnen.

10.6.3 Nadal-kriteriet

Nadal-kriteriet [117, 68] angir grenseverdien for forholdet mellom sidekraft og vertikalkraft \((Y/Q)\) der flensklatringen begynner. Ordet grense betyr en øvre tillatt verdi: Dersom det faktiske kraftforholdet på hjulet er lavere enn grensen, forutsier ikke det enkle kriteriet flensklatring. Dersom forholdet når eller overskrider grensen, indikeres begynnende klatring. Ved å dekomponere kreftene i kontaktpunktet mellom hjulflensen og skinnen fås:

\[ \begin{aligned} Y &= N\sin\beta - \mu N\cos\beta \\ Q &= N\cos\beta + \mu N\sin\beta \end{aligned} \]

Divisjon gir:

\[ \left(\frac{Y}{Q}\right)_\text{Nadal} = \frac{\tan\beta - \mu}{1 + \mu\tan\beta} \]

der \(\beta\) er kontaktnormalens vinkel målt fra vertikalretningen (ekvivalent med den lokale flatevinkelen på flensen målt fra horisontalretningen), og \(\mu\) er friksjonskoeffisienten. Flensklatring er nært forestående når:

\[ \frac{Y}{Q} \geq \left(\frac{Y}{Q}\right)_\text{Nadal} \]

Verdien er ikke universell fordi den avhenger av kontaktvinkelen og friksjonen. Med for eksempel \(\mu=0{,}35\):

\[ \begin{aligned} \beta=60^\circ &\Rightarrow \left(\frac{Y}{Q}\right)_\text{Nadal}\approx0{,}86,\\ \beta=70^\circ &\Rightarrow \left(\frac{Y}{Q}\right)_\text{Nadal}\approx1{,}22. \end{aligned} \]

Et målt forhold \(Y/Q=0{,}6\) ligger dermed under begge de illustrerte Nadal-grensene. Et målt \(Y/Q=0{,}9\) overskrider grensen \(0{,}86\) for \(\beta=60^\circ\), men ligger under grensen \(1{,}22\) for \(\beta=70^\circ\); vurderingen avhenger derfor av det antatte kontaktforholdet. Viktige observasjoner:

En lavere flensvinkel \(\beta\) reduserer grenseverdien for \(Y/Q\) og gjør klatring lettere. Moderne flensvinkler er vanligvis \(60\)–\(70^\circ\).
En høyere friksjonskoeffisient \(\mu\) reduserer grenseverdien for \(Y/Q\) fordi friksjonen bidrar til klatringen etter at krypkraften skifter retning.
Nadal-kriteriet er konservativt ved små eller negative anløpsvinkler.

10.6.4 Weinstock-kriteriet

Weinstock-kriteriet [173, 160] er en sikkerhetskontroll for hjulklatring på akselnivå. Det utvider Nadal-prinsippet ved å bruke informasjon fra begge hjulene på samme aksel. Definer Nadal-grensen for ett hjul som

\[ q_N = \frac{\tan\beta - \mu}{1 + \mu\tan\beta}. \]

For en aksel bruker Weinstock-kontrollen det summerte avsporingsforholdet for akselen

\[ S_{Y/Q}= \left|\frac{Y_f}{Q_f}\right| + \left|\frac{Y_n}{Q_n}\right|, \]

der senket indeks \(f\) betegner hjulet med flenskontakt og \(n\) hjulet uten flenskontakt. Grenseverdien for den summerte akselverdien skrives vanligvis som

\[ \begin{aligned} S_{Y/Q,\text{lim}} &= \frac{\tan\beta - \mu}{1 + \mu\tan\beta} + \mu\\ &= \frac{\tan\beta\,(1 + \mu^2)}{1 + \mu\tan\beta} \end{aligned} \]

og risiko for flensklatring indikeres når \(S_{Y/Q}\) overskrider denne grensen. Det ekstra leddet \(\mu\) representerer bidraget som kan utledes fra hjulet uten flenskontakt. Derfor er Weinstock vanligvis mindre konservativt enn en Nadal-kontroll av ett hjul når akselbevegelsen og kreftene på begge hjulene tas i betraktning.

Nadal- og Weinstock-verdiene er teoretiske grenser for hjulklatring fordi de er utledet fra en forenklet likevekt for kontaktkreftene. Ved godkjenning av kjøretøyets kjøredynamikk bruker EN 14363 og UIC Code 518 [90, 166] også konservative grenser for målte krefter. Disse grensene gjelder et behandlet målesignal og kan ikke anvendes på én ubehandlet øyeblikksverdi. For ett hjul defineres

\[ D_{Y/Q}=\max\left(\overline{\frac{Y}{Q}}\right)_{2\,\mathrm{m}}, \]

der streken betegner et glidende middel over et avstandsvindu på 2 m, og maksimum tas over den aktuelle prøvestrekningen. En vanlig oppgitt sikkerhetskontroll ved kjøring i kurver med stor radius er

\[ D_{Y/Q}\leq0{,}8 \qquad \text{for kurver med stor radius eller rett spor} \]

I UIC 518 gjelder dette vanligvis kjøring i kurver med stor radius, for eksempel \(R\geq300\) m. Nøyaktige radiusklasser, filtrering, statistisk behandling og formulering av bestått/ikke bestått avhenger av den anvendte standarden og nasjonale regler. Derfor bør behandlingsdefinisjonen angis sammen med den numeriske grensen. En verdi under 0,8 oppfyller kravet i denne kontrollen av målte krefter, mens en verdi over 0,8 overskrider grensen. Siden middelverdien beregnes over et avstandsvindu, er tidsvarigheten \(t_{2m}=2/v\): Ved 40 km/h er den omtrent 0,18 s, mens den ved 160 km/h er omtrent 0,045 s. Enkelte regler uttrykker i stedet korte impulser gjennom varighet, for eksempel ved å behandle overskridelser som varer kortere enn omtrent 50 ms, annerledes enn vedvarende verdier. En ubehandlet toppverdi, et maksimum av det glidende middelet over 2 m og en varighetsoverskridelse er derfor ikke likeverdige signaler. Den praktiske grensen på 0,8 er ikke en ny formel for flenskontakt; den er en konservativ driftsmessig kontrollgrense som brukes sammen med Nadal- og Weinstock-beregningene og andre sikkerhetskontroller for kjøredynamikk.

Regneeksempel (Nadal- og Weinstock-kontroller).

Anta en flensvinkel \(\beta=70^\circ\) og en friksjonskoeffisient \(\mu=0{,}35\). Nadal-grensen for ett hjul er

\[ q_N = \frac{\tan 70^\circ - 0{,}35}{1 + 0{,}35\tan 70^\circ} = 1{,}22, \]

og den tilhørende Weinstock-grensen for akselsummen er

\[ S_{Y/Q,\text{lim}} = q_N+\mu = 1{,}22+0{,}35 = 1{,}57. \]

Betrakt en aksel der hjulet uten flenskontakt har \(Y_n=25\) kN og \(Q_n=90\) kN. Tabellen sammenligner to tilstander for hjulet med flenskontakt:

Tilfelle	\(Y_f\) [kN]	\(Q_f\) [kN]	\(Y_f/Q_f\)	\(S_{Y/Q}\)
Nominell hjullast	70	75	0,93	\(0{,}93+25/90=1{,}21\)
Avlastet hjul	70	50	1,40	\(1{,}40+25/90=1{,}68\)

Det nominelle tilfellet ligger under begge de teoretiske grensene. Med samme sidekraft, men redusert vertikal hjullast, overskrider hjulet med flenskontakt Nadal-grensen, og det summerte akselforholdet overskrider også Weinstock-grensen. Denne enkle sammenligningen viser hvorfor hjulavlastning som følge av vindskjevhet, overhøydeoverskudd eller kjøretøyrulling er så viktig i vurderingen av avsporing.

10.6.5 Risikofaktorer for flensklatring

Risikoen for flensklatring styres i større grad av lav vertikal hjullast \(Q\) enn av høy sidekraft \(Y\). De viktigste risikofaktorene er:

Kjøretøyrelaterte forhold.

Lette, vridningsstive kjøretøy (for eksempel tomme tankvogner) er mest utsatt fordi vridningsstivheten konsentrerer avlastningen på ett hjul når sporet er vindskjevt.
Store anløpsvinkler øker sidekraften og dermed \(Y/Q\).
Hunting i kjøretøyet skaper store sykliske sidekrefter.

Sporrelaterte forhold.

Overhøydeoverskudd: Dersom kjøretøyhastigheten er lavere enn likevektshastigheten, reduseres hjullasten på ytterhjulet.
Vindskjevhet i sporet utover toleransene avlaster ett hjul betydelig.
Sporveksler og sporkryss medfører brå profilendringer.

Miljøforhold.

Vind rettet innover i kurven reduserer den vertikale hjullasten og øker samtidig sidekraften på vindsiden.
Forurensning (is, sand, olje) endrer friksjonskoeffisienten.

Forebyggende tiltak.

Begrens overhøyden i krappe kurver for å hindre overhøydeoverskudd ved lav kjøretøyhastighet.
Overhold toleransene for vindskjevhet i sporet (vanligvis \(\leq 3\) mm per meter på høyhastighetsbaner).
Smør flensen eller skinnen på kritiske steder.
Samordne stivheten i kjøretøyets fjæring med sporets kurvatur.

10.7 Kapittelsammendrag

Kontaktflate. Den lille kontaktflaten mellom hjul og skinne må bære kjøretøyet, styre hjulsatsen, overføre trekk- og bremsekrefter og motstå sidekrefter som kan gi avsporing. Kontaktspenningen er høy fordi lasten er konsentrert, og kontaktposisjonen endres med hjulprofil, skinneprofil, kurvatur, overhøyde og kjøretøybevegelse. Dette gjør hjul–skinne-samvirket til et av de viktigste koblede problemene i jernbaneteknikken.

Konisitet. En konisk hjulsats kan styre seg selv fordi en sideforskyvning skaper en rulleradiusforskjell mellom de to hjulene. Klingels formel beskriver den resulterende sinusbevegelsen og viser hvordan bølgelengden avhenger av hjulradius, sporvidde og ekvivalent konisitet. Selv om modellen er idealisert, forklarer den hvorfor profilformen er viktig både for kurveegenskaper og stabilitet på rett spor.

Stabilitet mot hunting. Ved høyere hastigheter kan den selvstyrende mekanismen bli ustabil og utvikle hunting. Den kritiske hastigheten avhenger av hjul- og skinneprofilene, fjæringsstivhet og dempning, kjøretøyets massefordeling og kontaktforholdene. Et hjulprofil som gir god styring i kurver, kan også øke den ekvivalente konisiteten og redusere stabiliteten mot hunting på rett spor. Utformingen av profilet krever derfor et kompromiss.

Kontaktmekanikk. Hertz-teorien beregner kontaktflatens størrelse og trykkfordeling, mens den tangentielle kontakten bestemmer krypkrefter, trekkraft, bremsing og kurvekjøring. Begrensningene ved disse modellene er viktige: Virkelige skinne- og hjuloverflater er slitte, ru, forurensede og noen ganger plastisk deformerte. Modellene gir likevel det tekniske begrepsapparatet som er nødvendig for å drøfte skinneutmattelse, slitasje og adhesjon.

Avsporingssikkerhet. Flensklatring oppstår når sidekraft og vertikal avlastning gjør at hjulflensen kan klatre opp på skinnen. Nadal-kriteriet og Weinstock-metoden knytter denne risikoen til forholdet mellom sidekraft og vertikal hjulkraft, kontaktvinkelen og friksjonen. Kriteriene erstatter ikke en fullstendig kjøretøydynamisk analyse, men gir praktiske kontroller for kurver, sporveksler, forringet spor og andre steder der motstanden mot avsporing er kritisk.

Oppgaver

Oppgave 1: Styring av hjulsatsen i kurver og på rett spor

En hjulsats har nominell rulleradius \(r_0=460\) mm, halvavstand mellom kontaktpunktene \(b_0=750\) mm og ekvivalent konisitet \(\lambda_{eq}=1/20\).

(a) Ta utgangspunkt i rulleradiusrelasjonene \(r_\mathrm{out}=r_0+\lambda_{eq}y\) og \(r_\mathrm{in}=r_0-\lambda_{eq}y\), og utled sideforskyvningen som er nødvendig for radiell styring:

\[ y_R=\frac{b_0r_0}{\lambda_{eq}R}. \]

(b) Beregn \(y_R\) for kurveradiene \(R=500\) m og \(R=250\) m. Dersom bare omtrent 8 mm sideforskyvning på løpeflaten er tilgjengelig før flenskontakt, drøft om ren rulling er mulig i de to kurvene.

(c) Ta utgangspunkt i den samlede rulleradiusforskjellen \(\Delta r = 2\lambda_{eq}y\) og \(\mathrm{d}\psi/\mathrm{d}x=-\Delta r/(2b_0r_0)\), og utled Klingels differensialligning for bevegelse på rett spor.

(d) Beregn Klingel-bølgelengden og den kinematiske frekvensen for sinusbevegelsen ved \(v=200\) km/h. Forklar deretter det praktiske kompromisset mellom lav og høy ekvivalent konisitet.

Oppgave 2: Stabilitet mot hunting og grensesykluskurver

Stabilitetsdiagrammet for hunting knytter kjøretøyhastigheten til amplituden av sidesvingningen i hjulsatsen eller kjøretøyet. Det inneholder stabile områder, et betinget stabilt område, et ustabilt område, en ulineær kritisk hastighet \(v_\mathrm{crit,nonlin}\), en lineær kritisk hastighet \(v_\mathrm{crit,lin}\) og en gren for grensesyklusen.

(a) Forklar hva de to aksene i grensesykluskurven representerer, og hva grenen for grensesyklusen betyr fysisk.

(b) Forklar hvorfor en stor sideforstyrrelse kan utløse hunting under den lineære kritiske hastigheten, og hvorfor dette er viktig ved vurdering av hjul–skinne-samvirket.

(c) Foreslå minst to tiltak for å unngå ustabil hunting.

(d) Forklar hvorfor svært stiv primærfjæring kan være ugunstig ved kurvekjøring, selv om den forbedrer styringen på rett spor.

Oppgave 3: Kontaktproblem mellom hjul og skinne

Bruk ligningene for Hertz-kontakt i dette kapitlet. Anta rett spor (\(r_{x2}\rightarrow\infty\)), en statisk akselmasse på \(22{,}5\,\mathrm{t}\) og Poissons tall \(\nu=0{,}283\), med mindre annet er angitt. Bruk Tabell 10.1 til å finne Hertz-konstantene \(m\) og \(n\). Den tilhørende statiske aksellasten er \(220{,}7\,\mathrm{kN}\), slik at normalkraften per hjul kan settes til \(N=110{,}4\,\mathrm{kN}\).

Tilfelle	Hjuldiameter	\(r_{y1}\)	\(r_{y2}\)	Elastisitetsmodul
1	920 mm	150 mm	300 mm	\(E_w=E_r=210\) GPa
2	920 mm	150 mm	300 mm	\(E_w=180\) GPa, \(E_r=210\) GPa
3	920 mm	\(-200\) mm	80 mm	\(E_w=E_r=210\) GPa
4	750 mm	\(-200\) mm	80 mm	\(E_w=E_r=210\) GPa

Tabell 10.2 Kontakttilfeller for Hertz-beregningen.

(a) Angi forutsetningene for Hertz-kontaktteorien.

(b) Beregn \(A\), \(B\), den kombinerte elastisitetsmodulen \(E^*\), halvaksene \(a\) og \(b\) i kontaktflaten, kontaktarealet \(A_c\) og det maksimale kontakttrykket \(P_{z,\max}\) for hvert tilfelle.

(c) Sammenlign Tilfelle 2 med Tilfelle 1, Tilfelle 3 med Tilfelle 1 og Tilfelle 4 med Tilfelle 3 ved kjørekanten. Hva viser disse sammenligningene om materialstivhet, kontaktplassering og hjuldiameter?

(d) Ved lav friksjon, \(\mu=0{,}2\), forklar hvordan vektoren av tangentielle krypkrefter begrenses av friksjonsbetingelsen \(\sqrt{X^2+Y^2}\leq \mu N\). Hva skjer når det lineære behovet for krypkraft overskrider denne grensen?

Oppgave 4: Nadal- og Weinstock-kriteriene for avsporing

Avgrens vurderingen til avsporing ved flensklatring i grensesnittet mellom hjul og skinne.

(a) Plott, eller lag en tabell over, Nadal- og Weinstock-grensene for \(Y/Q\) som funksjon av flensens kontaktvinkel \(\beta\) fra \(20^\circ\) til \(80^\circ\). Bruk friksjonskoeffisientene \(\mu=0{,}1,0{,}2,0{,}3,0{,}4,0{,}5\).

(b) Kommenter forskjellen mellom Nadal- og Weinstock-kriteriene. Hvorfor er Nadal-kriteriet vanligvis mer konservativt?

(c) Drøft hvordan smøring av flensen/skinnen påvirker risikoen for avsporing ved flensklatring.

(d) For \(\beta=70^\circ\), \(\mu=0{,}35\), målt sidekraft \(Y=55\) kN og vertikalkraft \(Q=100\) kN: Beregn det målte \(Y/Q\)-forholdet, og sammenlign det med Nadal-grensen og en vanlig kontroll av målte krefter etter EN 14363 og UIC 518, basert på et glidende middel over 2 m, \(D_{Y/Q}\leq0{,}8\).