09

Tog–spor-samvirke

Kort videoforklaring Se video

9.1 Innledning

Jernbaneteknikk omfatter et kontinuerlig dynamisk samvirke mellom toget og sporet [117]. For å forstå dette samvirket kreves kunnskap om kreftene som motvirker togets bevegelse (kjøremotstand), kraften som driver toget framover (trekkraft), og den dynamiske responsen i kjøretøy–spor-systemet ved eksitasjon fra ujevnheter i hjul og skinner. Den strukturelle lastveien og innledende kontroller av skinnespenninger behandles i kapittel 1; dette kapitlet bygger videre på dette grunnlaget og retter oppmerksomheten mot systemets oppførsel i bevegelse.

Kapitlet omfatter:

1. Togets bevegelse: kjøremotstand, trekkraft og tilgjengelig adhesjon

2. Dynamisk modellering av kjøretøy: frihetsgrader, variasjon i kontaktkraft og resonansrelevante svingningsformer

3. Tog–spor-eksitasjon: sporets dynamiske ettergivelighet (receptans), svillepassering, variasjon i understøtningsstivhet og resonansmekanismer på systemnivå

9.2 Kjøremotstand

Kjøremotstanden knytter togets bevegelse til linjeføringen, kjøretøyets egenskaper og den tilgjengelige trekkraften. Først skilles det mellom de viktigste motstandskomponentene, før beregningsformlene innføres.

9.2.1 Oversikt

Et tog må overvinne flere typer motstand for å begynne å bevege seg eller for å fortsette med konstant hastighet. I Bane NORs terminologi er den samlede kjøremotstanden summen av:

• Grunnmotstand: rulle-, mekanisk og aerodynamisk motstand som finnes også på rett og horisontalt spor

• Kurvemotstand: tilleggsmotstand ved kjøring i kurver

• Stigningsmotstand: tyngdekraftens bidrag langs sporet i stigninger og fall

Den kvalitative hastighetsavhengigheten er vist i figur 9.1. Etter minimumspunktet for kjøremotstand ved lav hastighet viser den stigende grenen at grunnmotstanden ved høy hastighet domineres av det hastighetsavhengige aerodynamiske bidraget.

Figur 9.1 Skjematisk sammenheng mellom spesifikk kjøremotstand og hastighet.

Spesifikk motstand uttrykkes som forholdet mellom en motstandskraft og togets tyngde. For en vilkårlig motstandskomponent \(i\) gjelder

\[ w_i = 1000\,\frac{W_i}{P_\mathrm{total}} \quad [‰] \]

(9.1)

\[ W_i = \frac{w_i}{1000}\,P_\mathrm{total} \]

(9.2)

der \(W_i\) er motstandskraften [kN], og \(P_\mathrm{total}\) er togets samlede tyngde uttrykt som kraft [kN]. En verdi på 10 ‰ innebærer dermed en motstandskraft som tilsvarer 1 % av togets tyngde. Et tog med \(P_\mathrm{total}=10\,000\) kN og \(w=10\) ‰ har for eksempel \(W=100\) kN.

Den samlede spesifikke kjøremotstanden kombinerer grunn-, kurve- og stigningsmotstanden:

\[ w_\mathrm{total} = w_\mathrm{curve} + w_\mathrm{gradient} + w_\mathrm{train} \]

(9.3)

\[ W_\mathrm{total} = \frac{w_\mathrm{total}}{1000}\,P_\mathrm{total} \]

(9.4)

Motstandskraften virker motsatt av bevegelsesretningen. Newtons andre lov kan derfor skrives som

\[ F - W_\mathrm{total} = m_\mathrm{total} a, \]

(9.5)

der \(F\) er trekkraften i kontaktflaten mellom hjul og skinne, og \(m_\mathrm{total}\) er togets masse. Ved konstant hastighet er \(a=0\), og trekkraften må dermed balansere den samlede motstanden: \(F=W_\mathrm{total}\). Ved akselerasjon er \(F>W_\mathrm{total}\); dersom trekkraften er lavere enn den samlede motstanden, reduseres togets hastighet.

9.2.2 Kurve- og stigningsmotstand

Kurvemotstand og stigningsmotstand er de to bidragene til kjøremotstanden som bestemmes direkte av sporets linjeføring. De behandles hver for seg fordi kurvemotstand er knyttet til styring og kontaktfriksjon, mens stigningsmotstand skyldes en komponent av tyngdekraften.

9.2.2.1 Kurvemotstand

Kurvemotstand er den ekstra kjøremotstanden som oppstår fordi hjulsatsene må styres gjennom en krum bane i stedet for å rulle fritt langs et rett spor. I figur 9.2 tvinges den fremste akselen sideveis i kurven. Når den tilgjengelige klaringen er brukt opp, styrer hjulflenskontakt og kryp hjulsatsen og skaper friksjon mot skinnen. Denne friksjonen og den lille glidningen i kontaktflaten mellom hjul og skinne fører til energitap som må overvinnes med ekstra trekkraft.

Figur 9.2 Kurvemotstand som følge av styringen av hjulsatsen.

Virkningen øker når kurveradien reduseres, fordi skarpere kurver krever sterkere sidestyring. Hjulenes konisitet kan også gi en sinusbevegelse (Klingels bevegelse) på rett spor. Hunting betegner den ustabile bevegelsen som kan utvikles når denne sidebevegelsen ikke lenger er tilstrekkelig dempet. Ved beregning av kurvemotstand er det vanligvis styringen og hjulflensfriksjonen i kurver som gir det dominerende praktiske bidraget.

Den spesifikke kurvemotstanden \(w_\mathrm{curve}\) [‰] beregnes med Röckls empiriske formel:

\[ w_\mathrm{curve} = \begin{cases} \dfrac{650}{R - 55} & R \geq 400\,\text{m} \\[8pt] \dfrac{750}{R} & 150\,\text{m} < R < 400\,\text{m} \\[8pt] 5 & R \leq 150\,\text{m} \end{cases} \]

(9.6)

der \(R\) er kurveradien i meter. Kurvemotstanden kan neglisjeres når \(R > 1100\) m. I sporveksler og sporkryss (i avvik) kommer det i tillegg en sporvekselmotstand.

9.2.2.2 Stigningsmotstand

Figur 9.3 viser kraftlikevekten på et spor med stigning. Togets tyngde \(P\) virker vertikalt, men en del av tyngden virker langs sporplanet i retning nedover. Denne komponenten er stigningsmotstanden; trekkraften må minst balansere denne for å holde konstant hastighet i en stigning.

Figur 9.3 Stigningsmotstand på et spor med stigning.

For en stigningsvinkel \(\theta\) (i radianer) er den nødvendige trekkraften:

\[ F_\mathrm{gradient} = P\sin\theta \approx P\theta \]

(9.7)

Jernbanestigninger uttrykkes normalt som en helning \(s\) i ‰. For små vinkler er \(\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta\), slik at \(s \approx 1000\theta\). Den spesifikke stigningsmotstanden er derfor lik selve stigningen:

\[ w_\mathrm{gradient} = s \quad [‰] \]

(9.8)

der \(s\) er positiv i stigning og negativ i fall. Store stigninger har betydelige konsekvenser: tyngre lokomotiver, høyere energiforbruk, redusert nyttelast for godstog, lavere strekningshastigheter, lengre bremselengder og lengre signalblokkstrekninger.

9.2.3 Grunnmotstand

Grunnmotstand er kjøremotstanden som finnes på rett og horisontalt spor. Den er knyttet til selve kjøretøyet og samvirket mellom kjøretøy og spor, ikke til kurver eller stigninger. Figur 9.4 viser de viktigste mekanismene. Motstand i lagre og framdriftssystem skyldes mekaniske tap i roterende komponenter og drivutstyr. Rullemotstand oppstår på grunn av deformasjon i kontakten mellom hjul og skinne og lokale ujevnheter, for eksempel skinneskjøter. Dynamisk motstand representerer energi som tapes som vibrasjoner i kjøretøyet og hjul–skinne-systemet. Aerodynamisk motstand skyldes trykkmotstand ved togets front og hudfriksjon langs togkroppen; den relative betydningen øker raskt med hastigheten.

Figur 9.4 Mekanismer for grunnmotstand og deres bidrag til effektbehovet.(a) mekaniske tap; (b) rullemotstand; (c) dynamisk motstand; og (d) mekanisk, aerodynamisk og samlet effekt.

Togets kjøremotstand utgjør vanligvis bare 1,5–2 ‰ av togvekten ved lav til moderat hastighet, men øker som følge av aerodynamisk motstand ved høy hastighet. Dette er langt mindre enn for veikjøretøy, hovedsakelig på grunn av de små rulletapene i kontakten mellom stålhjul og stålskinne [130].

9.2.3.1 Beregning av grunnmotstand

Den spesifikke grunnmotstanden \(w_\mathrm{train}\) [‰] kan tilnærmes med:

\[ w_\mathrm{train} = a + bv + cv^2 \]

(9.9)

der \(v\) er hastigheten i km/h, mens \(a\), \(b\) og \(c\) er empirisk bestemte koeffisienter [130]. Leddet \((a + bv)\) representerer rulle- og lagermotstand, mens \(cv^2\) representerer aerodynamisk motstand. Figur 9.5 viser typiske empiriske kurver for spesifikk motstand som funksjon av hastighet for ulike togtyper.

Figur 9.5 Typisk spesifikk grunnmotstand som funksjon av hastighet for tre toggenerasjoner: (1) eldre lokomotivtrukket tog, (2) nyere lokomotivtrukket tog og (3) moderne motorvognsett.

Den aerodynamiske motstanden påvirkes i stor grad av formen på togfronten og togkroppens tverrsnitt og av hastigheten. Figur 9.6 sammenligner en strømlinjeformet, nebblignende form med den slanke fronten på et høyhastighetstog og den flatere fronten på et lokomotiv. Det isfugllignende nebbet i figur 9.6(a) er en nyttig aerodynamisk analogi: En lang, avsmalnende front fortrenger luften mer gradvis og reduserer brå trykkoppbygging. Den flatere fronten i figur 9.6(c) gir derimot en større trykkforskjell og kraftigere strømningsseparasjon. Derfor blir den slanke frontformen i figur 9.6(b) en viktig konstruksjonsparameter for høyhastighetstog, der effekten som kreves for å overvinne den aerodynamiske motstanden, er tilnærmet proporsjonal med \(v_r^3\) (den relative vindhastigheten i tredje potens). Figur 9.6(d) knytter de alternative frontformene til trykk- og sugebelastningen foran og bak på toget.

Figur 9.6 Aerodynamisk motstand og utforming av togfronten.(a) isfuglnebbet som aerodynamisk analogi; (b) strømlinjeformet front på et høyhastighetstog; (c) flatere lokomotivfront; og (d) trykk- og sugevirkning rundt alternative frontformer.

9.2.4 Samlet motstand

For et tog som kjører med konstant hastighet, er motstanden som må balanseres av trekkraften, summen av grunn-, kurve- og stigningsmotstanden. Den kan først uttrykkes som en spesifikk motstand i ‰:

\[ w_\mathrm{total} = w_\mathrm{train} + w_\mathrm{curve} + w_\mathrm{gradient} \]

(9.10)

Her er \(w_\mathrm{train}\) kjøretøyets grunnleggende kjøremotstand, som omfatter rulle-, lager-, dynamiske og aerodynamiske virkninger. Leddet \(w_\mathrm{curve}\) og \(w_\mathrm{gradient}\) beskriver tilleggsmotstanden som skyldes henholdsvis kurver og stigninger langs banen.

Den tilhørende samlede motstandskraften finnes ved å multiplisere den spesifikke motstanden med togets tyngdekraft:

\[ W_\mathrm{total} = \frac{w_\mathrm{total}}{1000}\,P \]

(9.11)

I denne omregningen er \(P\) togvekten uttrykt som en kraft, og \(1\) ‰ tilsvarer \(1/1000\) av denne tyngdekraften. Dermed er \(W_\mathrm{total}\) kraften lokomotivet må overvinne for å holde konstant hastighet; ytterligere trekkraft er nødvendig når toget akselererer. I praksis brukes denne motstandsberegningen sammen med trekkraftgrensene som innføres i avsnitt 9.3.

9.3 Trekkraft

Trekkraft er den nyttige kraften som overføres fra drivhjulene til skinnen. Kraften som kan utnyttes i praksis, bestemmes både av den installerte effekten og av den tilgjengelige adhesjonen i kontakten mellom hjul og skinne.

9.3.1 Spesifikk trekkraft

Den spesifikke trekkraften \(f\) [‰] er trekkraften \(F\) [kN] per enhet togvekt \(P_\mathrm{total}\) [kN]:

\[ f = 1000\,\frac{F}{P_\mathrm{total}} \]

(9.12)

Denne størrelsen er mest nyttig når den sammenlignes med banestrekningens samlede spesifikke motstand. Ved konstant hastighet må den tilgjengelige spesifikke trekkraften minst være like stor som summen av tog-, kurve- og stigningsmotstanden.

Figur 9.7 knytter definisjonen av spesifikk trekkraft til kontaktflaten mellom hjul og skinne: Kraften kan bare overføres dersom den tangentielle kontaktkraften er mindre enn adhesjonen som er tilgjengelig fra den normale hjullasten.

Figur 9.7 Kontaktflaten mellom hjul og skinne: Tilgjengelig adhesjon i dette grensesnittet begrenser trekkraften som kan overføres.

9.3.2 Trekkraftens begrensninger

Den maksimale trekkraften begrenses av to faktorer:

1. Tilgjengelig effekt

Framdriftssystemet kan bare levere en begrenset mengde mekanisk arbeid per tidsenhet. Siden effekt er kraft multiplisert med hastighet, avtar trekkraften som kan opprettholdes med en gitt installert effekt, når hastigheten øker:

\[ F_\mathrm{power} = \frac{P_\mathrm{engine}}{v} \]

(9.13)

der \(P_\mathrm{engine}\) er motoreffekten [kW], og \(v\) er hastigheten [m/s]. Med disse enhetene fås \(F_\mathrm{power}\) i kN.

2. Tilgjengelig adhesjonskraft

Selv når tilstrekkelig motoreffekt er tilgjengelig, kan ikke drivhjulene overføre en større tangentiell kraft enn kontakten mellom hjul og skinne kan tåle uten sluring. Adhesjonsgrensen er derfor proporsjonal med normallasten som bæres av drivhjulene:

\[ F_\mathrm{adh} = \mu \cdot Q_\mathrm{adh} \]

(9.14)

der \(\mu\) er adhesjonskoeffisienten mellom hjul og skinne, og \(Q_\mathrm{adh}\) er den samlede vertikallasten på drivhjulene eller drivakslene som inngår i beregningen. Trekkraften som kan overføres, bestemmes av den laveste av effektgrensen og adhesjonsgrensen:

\[ F_\mathrm{max} = \min(F_\mathrm{power}, F_\mathrm{adh}) \]

(9.15)

Adhesjonskoeffisienten for et stålhjul på en stålskinne varierer fra omtrent 0,10 (vått og forurenset) til 0,40 (tørt og rent) og avtar generelt med hastigheten.

Hastighetsavhengigheten sammenlignes i Figur 9.8: Alle de empiriske kurvene viser at den tilgjengelige adhesjonen avtar når hastigheten øker, og de lavere kurvene representerer den reduserte marginen under fuktige, forurensede eller på annen måte dårlige skinneforhold.

Figur 9.8 Veiledende adhesjonskoeffisient μ for tørre, fuktige og dårlige skinneforhold som funksjon av hastighet.

Vanlige formler for adhesjonskoeffisienten:

• UIC: \(\mu = 0{,}139 + 4{,}48/(v + 34{,}2)\)

• Curtius–Kniffler: \(\mu = 0{,}161 + 7{,}5/(v + 44)\)

der \(v\) er angitt i km/h. Når adhesjonsgrensen kombineres med den installerte effekten, fås den trinnvise trekkraftkarakteristikken i figur 9.9: Ved lav hastighet er adhesjonen begrensende; deretter styres den tilgjengelige kraften av avtakende adhesjon og til slutt av motorens effektgrense.

Figur 9.9 Trekkraftkarakteristikk for et lokomotiv med fire trinn: (I) øvre adhesjonsgrense, (II) avtakende adhesjon med økende hastighet, (III) motorens effektgrense og (IV) maksimal hastighet.

Regneeksempel: vognkapasitet i en stigning.

Motstandsligningene og trekkraftgrensene brukes vanligvis sammen. Betrakt et EL 18-lokomotiv med masse \(M_\mathrm{loc}=82{,}2\) t som trekker lastede godsvogner med \(v=140\) km/h på rett spor med en stigning på \(s=6\) ‰. Anta at den tilgjengelige trekkraften ved denne hastigheten er \(F_\mathrm{avail}=150\) kN. Lokomotivets grunnmotstand beregnes som

\[ \begin{aligned} w_{\mathrm{train,loc}} &= 2{,}2 + 3\left(\frac{v}{100\,\mathrm{km/h}}\right)^2\\ &= 2{,}2 + 3\left(\frac{140\,\mathrm{km/h}}{100\,\mathrm{km/h}}\right)^2\\ &= 8{,}08\,‰, \end{aligned} \]

og for de lastede vognene brukes \(w_{\mathrm{train,wag}}=5\,‰\).

Ved konstant hastighet må den tilgjengelige trekkraften balansere den samlede motstanden. Ved bruk av ligningene 9.10 og 9.11, og med hensyn til at det ikke er kurvemotstand på rett spor, kan kraftbalansen skrives som

\[ \begin{aligned} F_\mathrm{avail} &={} \frac{9{,}81\,\mathrm{kN/t}}{1000}\\ &\times \left[ \begin{aligned} &(w_{\mathrm{train,loc}}+s)M_\mathrm{loc}\\ &+(w_{\mathrm{train,wag}}+s)M_\mathrm{wag} \end{aligned} \right], \end{aligned} \]

der de spesifikke motstandene og stigningen settes inn som tallverdier i ‰, massene er angitt i tonn og resultatet fås i kN. Løst med hensyn på den maksimale massen av lastede vogner gir dette

\[ \begin{aligned} M_\mathrm{wag,max} &= \frac{F_\mathrm{avail}\,1000} {9{,}81\,(w_{\mathrm{train,wag}}+s)}\\ &\quad- \frac{(w_{\mathrm{train,loc}}+s)M_\mathrm{loc}} {w_{\mathrm{train,wag}}+s}\\ &= \frac{(150\,\mathrm{kN})(1000)} {(9{,}81\,\mathrm{kN/t})(5+6)}\\ &\quad- \frac{(8{,}08+6)(82{,}2\,\mathrm{t})}{5+6}\\ &\approx 1285\,\mathrm{t}. \end{aligned} \]

Hvis hver vogn har to boggier med to aksler per boggi og en maksimal aksellast på 18 t, har en fullastet vogn en bruttomasse på \(4\,(18\,\mathrm{t})=72\) t. Lokomotivet kan derfor trekke

\[ n_\mathrm{full} = \left\lfloor \frac{1285\,\mathrm{t}}{72\,\mathrm{t}} \right\rfloor = 17 \]

fullastede vogner under disse forutsetningene. Alternativt kan omtrent 18 vogner brukes dersom den gjennomsnittlige lastede massen per vogn holdes litt under grensen for vognens bruttomasse på 72 t, som følger av grensen på 18 t per aksel.

9.4 Dynamisk modellering av tog

Forståelse av jernbanekjøretøyets dynamiske oppførsel er avgjørende for sporingeniøren: Kjøretøydynamikken bestemmer kreftene som kjøretøyet påfører sporet, og sporujevnheter er den viktigste kilden til dynamisk eksitasjon. Det forenklede modelleringsgrunnlaget i dette avsnittet bygger på behandlingen av jernbanekjøretøydynamikk hos Knothe og Stichel [124], med notasjon tilpasset kompendiet.

9.4.1 Frihetsgrader for et jernbanekjøretøys vognkasse

En stiv vognkasse som beveger seg langs sporet, har seks frihetsgrader relativt til sporgeometrien [117, 62]. Figur 9.10 viser de tre translasjonene og de tre rotasjonene til vognkassen. Notasjonen for disse bevegelsene brukes konsekvent i de følgende dynamiske modellene.

Figur 9.10 Seks stivlegeme-frihetsgrader for et jernbanekjøretøys vognkasse.

Relativ bevegelse	Symbol	Betegnelse
Translasjon i kjøreretningen	\(x\)	Langsgående
Translasjon på tvers (parallelt med sporplanet)	\(y\)	Sideveis
Translasjon vinkelrett på sporplanet	\(z\)	Vertikal (vertikalbevegelse)
Rotasjon om lengdeaksen	\(\phi\)	Rulling / krenging
Rotasjon om tverraksen	\(\theta\)	Stamping
Rotasjon om vertikalaksen	\(\psi\)	Giring

Tabell 9.1 Seks stivlegeme-frihetsgrader for et jernbanekjøretøys vognkasse relativt til sporet.

For praktiske dynamiske analyser er det ofte tilstrekkelig å modellere bare vertikalbevegelse og stamping, siden sidebevegelsene analyseres separat. Det aktuelle analyseområdet for frekvens er vanligvis 0–150 Hz for kjøretøyets strukturdynamikk.

9.4.2 Bevegelsesligninger: 1-DOF-modell

Den enkleste modellen av et kjøretøy som passerer en sporujevnhet, er et endimensjonalt masse–fjær–demper-system med én frihetsgrad (1-DOF)  [117]. Den fjærede kjøretøymassen \(m\) er den dynamiske frihetsgraden. Hjulet eller den ufjærede massen \(m_w\) antas å følge sporujevnheten \(z_t(s)\) og beholdes i beregningen av kontaktkraften fordi den vertikale akselerasjonen bidrar direkte til skinnelasten. Figur 9.11 viser denne modelleringsforutsetningen. I skissen til venstre er vognkassemassen koblet til hjulet eller den ufjærede massen gjennom fjæringsstivheten \(k\) og dempningen \(c\), mens hjulet følger det foreskrevne sporprofilet \(z_t(s)\). Frilegemediagrammet til høyre viser den samme modellen uttrykt med krefter: Fjærkraften \(F_{k,d}\) og demperkraften \(F_c\) virker gjennom fjæringen, og den dynamiske kontaktkraften \(Q_d\) virker i grensesnittet mellom hjul og skinne.

Figur 9.11 Endimensjonal 1-DOF-modell av tog–spor-samvirke.

Likevekt for vognkassen og hjulsatsen gir:

\[ \begin{aligned} m\ddot{z} &= -F_{k,d} - F_c \\ m_w \ddot{z}_w &= F_{k,d} + F_c - Q_d \end{aligned} \]

(9.16) (9.17)

der fjærkraften og demperkraften er:

\[ \begin{aligned} F_{k,d} &= k(z - z_w) \\ F_c &= c(\dot{z} - \dot{z}_w) \end{aligned} \]

(9.18) (9.19)

Innsetting av ligningene (9.18) og (9.19) i ligningene (9.16) og (9.17) gir:

\[ \begin{aligned} m\ddot{z} + c(\dot{z} - \dot{z}_w) + k(z - z_w) &= 0 \\ m_w\ddot{z}_w - c(\dot{z} - \dot{z}_w) - k(z - z_w) &= -Q_d \end{aligned} \]

(9.20) (9.21)

Sporujevnheten \(z_t(s)\) er en funksjon av posisjonen \(s\) langs sporet. Når kjøretøyet kjører med konstant hastighet \(v\), er posisjonen ved tidspunktet \(t\) gitt ved \(s(t) = s_0 + vt\). Hjulets forskyvning, hastighet og akselerasjon er dermed:

\[ \begin{aligned} z_w &= z_t[s(t)] \\ \dot{z}_w &= z_t'v \\ \ddot{z}_w &= z_t''v^2 \end{aligned} \]

Ved innsetting i ligning (9.21) blir den dynamiske kontaktkraften \(Q_d\) (tilleggskraften utover den statiske hjullasten \(Q_0\)):

\[ Q = Q_0 + Q_d = (m + m_w)g - m\ddot{z} - m_w z_t''v^2 \]

(9.25)

Dette viser at variasjonene i kontaktkraften drives av (i) vognkassens akselerasjon \(\ddot{z}\) (fjæringsresponsen) og (ii) hjulets akselerasjon \(z_t''v^2\) (den ufjærede massen som følger ujevnhetsprofilet med hastigheten \(v\)).

9.4.3 Bevegelsesligninger: 2-DOF-modell

En mer realistisk modell omfatter to hjulsatser (hver med masse \(m_w\)) i avstandene \(L_1\) og \(L_2\) fra vognkassens massesentrum, med uavhengig primærfjæring \((k_1, c_1)\) og \((k_2, c_2)\) [117]. Figur 9.12 viser denne utvidelsen av 1-DOF-modellen. Vognkassen har masse \(m\) og treghetsmoment \(J\) for stamping; de generaliserte koordinatene er den vertikale forskyvningen \(z\) og stampingsvinkelen \(\chi\). De to hjulsatsene følger sporprofilet ved posisjonene \(z_{w1}(t)\) og \(z_{w2}(t)\), mens de dynamiske kontaktkreftene mellom hjul og skinne er \(Q_{1,d}\) og \(Q_{2,d}\). Frilegemediagrammet til høyre definerer kraftretningene som brukes i likevektsligningene nedenfor.

Figur 9.12 2-DOF-modell av tog–spor-samvirke med to hjulsatser.

Kraft- og momentlikevekt for vognkassen:

\[ \begin{aligned} m\ddot{z} &= -F_{k1,d} - F_{c1} - F_{k2,d} - F_{c2}\\ J\ddot{\chi} &= -L_1(F_{k1,d}+F_{c1}) +L_2(F_{k2,d}+F_{c2}) \end{aligned} \]

(9.26) (9.27)

Bevegelsesligninger for hjulsatsene:

\[ \begin{aligned} m_w\ddot{z}_{w1} &= F_{k1,d} + F_{c1} - Q_{1,d}\\ m_w\ddot{z}_{w2} &= F_{k2,d} + F_{c2} - Q_{2,d} \end{aligned} \]

(9.28) (9.29)

På matriseform blir bevegelsesligningene for vognkassen:

\[ \begin{bmatrix} m & 0 \\ 0 & J \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \ddot{z} \\ \ddot{\chi} \end{Bmatrix} + \mathbf{C} \begin{Bmatrix} \dot{z} \\ \dot{\chi} \end{Bmatrix} + \mathbf{K} \begin{Bmatrix} z \\ \chi \end{Bmatrix} = \mathbf{f}(z_{w1}, z_{w2}) \]

(9.30)

der \(\mathbf{C}\) og \(\mathbf{K}\) er henholdsvis dempnings- og stivhetsmatrisen, som inneholder fjæringsparameterne, og \(\mathbf{f}\) er eksitasjonsvektoren som bestemmes av posisjonene til de to hjulsatsene. De samlede kontaktkreftene på hjulsats 1 og 2, inkludert de statiske tyngdeleddene for hjulsatsene, er:

\[ \begin{aligned} Q_1 &= \left(m_w + \frac{mL_2}{L_1+L_2}\right)g - m_w\ddot{z}_{w1} \notag\\ &\quad + c_1(\dot{z}+\dot{\chi}L_1-\dot{z}_{w1}) \notag\\ &\quad + k_1(z+\chi L_1-z_{w1})\\ Q_2 &= \left(m_w + \frac{mL_1}{L_1+L_2}\right)g - m_w\ddot{z}_{w2} \notag\\ &\quad + c_2(\dot{z}-\dot{\chi}L_2-\dot{z}_{w2}) \notag\\ &\quad + k_2(z-\chi L_2-z_{w2}) \end{aligned} \]

(9.31) (9.32)

Her måles vognkassens koordinat \(z\) i massesentrum. Positiv rotasjon \(\chi\) øker forskyvningen ved hjulsats 1 og reduserer den ved hjulsats 2. Avstandene fra massesentrum til hjulsats 1 og 2 er \(L_1\) og \(L_2\).

9.4.4 Udempede egenfrekvenser for et symmetrisk system

2-DOF-modellen ovenfor kan reduseres til en enkel håndberegning når kjøretøyet er symmetrisk og dempningen neglisjeres. Sett \(k_1=k_2=k\), \(L_1=L_2=L\), \(c_1=c_2=0\), og sett den foreskrevne sporeksitasjonen lik null ved fri svingning. Ligningene blir da

\[ \begin{bmatrix} m & 0 \\ 0 & J \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \ddot{z} \\ \ddot{\chi} \end{Bmatrix} + \begin{bmatrix} 2k & 0 \\ 0 & 2kL^2 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} z \\ \chi \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} 0 \\ 0 \end{Bmatrix}. \]

(9.33)

Vertikalbevegelsen og stampingen er frakoblet i dette spesialtilfellet. Egenverdiproblemet \(\mathbf{K}\boldsymbol{\phi}=\omega^2\mathbf{M}\boldsymbol{\phi}\) gir dermed

\[ \omega_z=\sqrt{\frac{2k}{m}}, \qquad \omega_\chi=\sqrt{\frac{2kL^2}{J}}, \qquad f=\frac{\omega}{2\pi}. \]

(9.34)

For eksempel, med \(m=32\,000\) kg, \(J=900\,000\) kg m\(^2\), \(k=850\) kN/m og \(L=8\) m:

\[ \begin{aligned} f_z&=\frac{1}{2\pi}\sqrt{ \frac{2(850\,000\,\mathrm{N/m})}{32\,000\,\mathrm{kg}}} \\ &=1{,}16\,\mathrm{Hz},\\ f_\chi&=\frac{1}{2\pi}\sqrt{ \frac{2(850\,000\,\mathrm{N/m})(8\,\mathrm{m})^2} {900\,000\,\mathrm{kg\,m^2}}} \\ &=1{,}75\,\mathrm{Hz}. \end{aligned} \]

Disse verdiene ligger nær typiske lavfrekvente vertikal- og stampingssvingninger i vognkassen. Dersom kjøretøyet ikke er symmetrisk, eller dersom dempning og ulike fjæringsegenskaper foran og bak tas med, forsvinner ikke lenger elementene utenfor diagonalen, og hele matriseegenverdiproblemet må løses.

9.4.5 Egenverdier og egensvingningsformer

En egenverdianalyse (fri svingning uten dempning) avdekker systemets egenfrekvenser og egensvingningsformer når kjøretøyets legemer behandles som stive [117]. Figur 9.13 viser vognkassen, sekundærfjæringen, boggirammer, primærfjæringen og hjulsatsene som ligger til grunn for de viktigste egensvingningsformene for de stive legemene. For et kjøretøy med to boggier, hver med to hjulsatser, omfatter vognkassens egensvingningsformer hovedsakelig vertikalbevegelse, stamping, giring og sidebevegelse, mens de høyfrekvente egensvingningsformene er knyttet til bevegelse i boggiene og hjulsatsene.

Figur 9.13 Hovedkomponenter i et boggikjøretøy i persontrafikk som brukes til å beskrive de stive legemenes egensvingningsformer.

De typiske frekvensområdene for disse egensvingningsformene er oppsummert i Tabell 9.2.

Svingningsform	Typisk frekvens	Beskrivelse
Nedre krengningsform	\(\approx 0{,}6\) Hz	Vognkassen ruller om lengdeaksen (lav sekundærfjæring)
Vertikalsvingning	\(\approx 1{,}1\) Hz	Vertikal translasjon av vognkassen
Stamping	\(\approx 1{,}35\) Hz	Vognkassen roterer om tverraksen
Giringssvingning	\(\approx 1{,}3\) Hz	Vognkassen roterer om vertikalaksen
Øvre krengningsform	\(\approx 1{,}8\) Hz	Vognkassen ruller (høy sekundærfjæring)
Kinematisk svingning, 1. boggi	\(\approx 4{,}5\) Hz	Sinusformet sidebevegelse for hjulsatsene i 1. boggi
Kinematisk svingning, 2. boggi	\(\approx 4{,}6\) Hz	Sinusformet sidebevegelse for hjulsatsene i 2. boggi
Langsgående boggisvingning	\(\approx 9{,}5\) Hz	Boggien vibrerer i lengderetningen

Tabell 9.2 Typiske egenfrekvenser for et boggikjøretøy i persontrafikk [117, 4].

Kunnskap om disse egenfrekvensene er avgjørende for sporingeniøren: Sporujevnheter med tilsvarende eksitasjonsbølgelengder kan utsette systemet for resonans og gi store dynamiske kontaktkrefter. En vertikalsvingning i vognkassen på 1,1 Hz som eksiteres ved 100 km/h, tilsvarer for eksempel en ujevnhetsbølgelengde på

\[ \lambda = \frac{v}{f} = \frac{27{,}8\,\mathrm{m/s}}{1{,}1\,\mathrm{s^{-1}}} \approx 25\,\mathrm{m}. \]

Dette er en bølgelengde som påvirkes av vedlikehold av underbygningen og sporjustering med pakkmaskin.

9.5 Spordynamikk

Spordynamikk utvider de statiske lastmodellene ved å ta hensyn til eksitasjonsfrekvens og resonans. Dette er avgjørende når hastighet, hjulskader eller kortbølgede ujevnheter forsterker kreftene.

9.5.1 Kilder til vibrasjonseksitasjon

Dynamiske krefter i sporet eksiteres av geometriske ujevnheter på hjul- og skinneoverflatene. Eksitasjonsfrekvensen \(f\) fra en periodisk skade med bølgelengde \(\lambda\) ved hastighet \(v\) er:

\[ f = \frac{v}{3{,}6 \cdot \lambda} \]

(9.35)

(med \(v\) i km/h og \(\lambda\) i meter). Formelen kan brukes til å beregne eksitasjonsfrekvenser fra rifler og bølger på skinnene, hjulslag, svillepassering og andre periodiske egenskaper ved sporet.

9.5.2 Sporets egenfrekvenser

Sporet har tre karakteristiske områder for resonansfrekvens (topper i sporreceptansen). Receptanskurven i figur 9.14 viser hvordan disse områdene opptrer i skinnens frekvensrespons: Den lavfrekvente toppen omfatter skinner og sviller som beveger seg på ballasten, det midtre området bestemmes av skinnens opplagring på mellomleggene, og den høyfrekvente toppen er skinnens opplagt–opplagt-resonans mellom svillene.

1. 40–140 Hz: Skinner og sviller beveger seg vertikalt sammen på ballasten

2. 100–500 Hz: Skinnen beveger seg vertikalt på mellomleggene (mellomleggsresonans)

3. 850–1200 Hz: Opplagt–opplagt-resonans, der bølgelengden er lik to ganger svilleavstanden

Figur 9.14 Topper i sporreceptansen og de tilhørende karakteristiske vibrasjonsformene. Heltrukken kurve gjelder midt mellom to sviller, mens stiplet kurve gjelder over en sville.

9.5.3 Vibrasjonskategorier og konsekvenser

Vibrasjonsproblemer på jernbanen kan med fordel inndeles etter frekvensområde fordi kjøretøystabilitet, spordynamikk, rullestøy og grunnbåren vibrasjon omfatter ulike mekanismer og avbøtende tiltak.

Kategori	Typiske problemmekanismer	Frekvens [Hz]
Kjøretøy	Stabilitet, kurve- og styringsegenskaper, passasjerkomfort	0–30
Boggi og ufjærede masser	Hjullagre; driftsstyrke for aksler, lagre, bremser, hjulsatser og boggirammer	0–200
Løpeflater på hjul og skinner	Hjulslag, glidemerker, polygonale hjul, hjulbølger, rifler og bølger på skinnene, skjøter, dårlig slipte sveiser og rullende kontaktutmattelse	50–200 for langbølgede skinnebølger; opptil 1500 for kortbølgede skader
Sporkomponenter	Skinneutmattelse, aldrende mellomlegg, betongsviller, ballastsetning, forringelse av sporgeometrien og setninger i undergrunnen	0–1500
Hjul–skinne-støy	Rullestøy, slagstøy og kurveskrik	0–5000
Strukturlyd og støt	Støtforplantning i undergrunnen, bruvibrasjoner, lydutstråling og strukturlyd i vognkassen	0–500

Tabell 9.3 Klassifisering av vibrasjons- og støyproblemer på jernbanen etter typisk frekvensområde.

Vibrasjonsproblemer i sporet kategoriseres etter frekvens [62, 117]:

• 0–30 Hz: Kjøretøystabilitet, kurve- og styringsegenskaper

• 0–200 Hz: Hjullagre, dynamikk i boggi og ufjærede masser, hjulslag, polygonale hjul, hjulbølger og langbølgede skinnebølger

• 0–1500 Hz: Skinneskjøter, kortbølgede rifler, dårlig slipte sveiser, rullende kontaktutmattelse (kjørekantsprekker og squat-skader) og overflateskader på skinner

Høyfrekvente vibrasjoner i kontakten mellom hjul og skinne genererer støy og kan akselerere utmattingsskader. Skinnesliping (kapittel 17) er det viktigste vedlikeholdstiltaket for å kontrollere rifler og bølger samt initiering av utmattingssprekker [107, 128].

9.6 Tog–spor-samvirke

Toget og sporet samvirker dynamisk: Kjøretøyets bevegelser eksiterer sporet, mens sporujevnheter og variasjoner i stivhet eksiterer kjøretøyet. Dette avsnittet behandler de viktigste fenomenene i grensesnittet mellom tog og spor som oppstår gjennom denne koblingen.

9.6.1 Svillepasseringsfrekvens

Skinnen er diskret opplagret ved hver sville, ikke kontinuerlig. Når et hjul ruller langs skinnen, møter det en periodisk variasjon i opplagringsstivheten med en romlig periode lik svilleavstanden \(l\). Dette skaper en periodisk eksitasjonskraft ved svillepasseringsfrekvensen [158, 117]:

\[ f_\mathrm{sp} = \frac{v}{l} \]

(9.36)

der \(v\) er hjulhastigheten [m/s], og \(l\) er svilleavstanden [m]. For en typisk svilleavstand på \(l = 0{,}60\) m og en hastighet på \(v = 140\) km/h (\(\approx 38{,}9\) m/s):

\[ f_\mathrm{sp} = \frac{38{,}9\,\mathrm{m/s}}{0{,}60\,\mathrm{m}} \approx 65\,\mathrm{Hz} \]

Denne frekvensen ligger langt under frekvensområdet for resonansformen der skinnen er opplagt ved to nabosviller (850–1200 Hz), men innenfor området for vertikal ballastbevegelse og de lavere egensvingningsformene for hjulsatsene. Dersom svillepasseringsfrekvensen sammenfaller med en strukturell egensvingningsform for hjulsatsen (for eksempel en bøyningssvingning i hjulsatsen ved 60–80 Hz), kan det oppstå resonans som gir gjentatt kontakteksitasjon ved hver sville. Dette er én av mekanismene som er forbundet med kortbølgede rifler [105, 158].

9.6.2 Frekvensavhengig sporstivhet

Sporstivheten er ikke en statisk størrelse: Den varierer med eksitasjonsfrekvensen på grunn av tregheten til skinner, sviller og ballast [158, 62]. Målinger viser at:

• Vertikal stivhet øker med frekvensen, fra statiske verdier på \(\approx 30\)–60 kN/mm til høyere tilsynelatende stivhet ved frekvenser over \(\sim 100\) Hz.

• Spor med betongsviller (stivere) viser høyere dempningskoeffisienter enn spor med tresviller i det aktuelle frekvensområdet, selv om dempningsresultatene er beheftet med stor usikkerhet.

• Sidestivheten er betydelig lavere enn den vertikale stivheten:

• Tresviller med underlagsplate og skinnespiker: 5–10 MN/m

• Betongsviller med fjærende befestigelser: 15–20 MN/m

Kunnskapen om sideveis fleksibilitet er fortsatt begrenset sammenlignet med vertikal stivhet, men den er viktig for overføring av sidekrefter og styringsegenskapene mellom hjul og skinne, som behandles i kapittel 10.

9.6.3 Fjæringens innvirkning på kurvekjøring

I kurver bestemmer primærfjæringens stivhet kjøretøyets styring. Figur 9.15 viser den resulterende sporforskyvende sidekraften: Når hjulsatsene kan dreie seg nærmere radialretningen, reduseres anløpsvinkelen og sidekraften som virker på sporet.

Figur 9.15 Sporforskyvende sidekraft under kurvekjøring for referansetilstanden og for 30 % redusert primærfjærstivhet i lengde- og sideretningen.

De praktiske konsekvensene er:

• Et stivrammekjøretøy (ett fjæringsnivå) har høy boggistivhet og kan ikke styre seg lett inn i kurver. Dette gir høye sidekrefter, dårlige kurveegenskaper og urolig gange.

• Et boggikjøretøy (to fjæringsnivåer: primærfjæring mellom hjulsats og boggi og sekundærfjæring mellom boggi og vognkasse) har mykere primærfjæring som gjør at hjulsatsene kan styre seg inn i kurven og dermed reduserer sidekreftene.

• Mykere primærfjæring i lengde- og sideretningen gir bedre kurveegenskaper. Dette må avveies mot stabilitetskravet ved høy hastighet, slik at fjæringskonstruksjonen blir et kompromiss mellom kurveegenskaper og stabilitet. Hunting-bevegelse i hjulsatsene og grensesyklisk oppførsel behandles sammen med styring mellom hjul og skinne i kapittel 10.

Kurveegenskapene påvirker sporvedlikeholdet direkte: Gode kurveegenskaper (lav sidekraft) reduserer sporutvidelse, gjentatt flenskontakt og vedlikeholdsbehovet i krapp kurvatur [68, 130].

9.7 Kapittelsammendrag

Motstand og trekkraft. Før dynamiske vibrasjoner tas i betraktning, må et tog overvinne kurve- og stigningsmotstanden fra linjeføringen samt grunnmotstanden fra rulling, lagertap og aerodynamiske virkninger. Den samlede motstanden bestemmer trekkraften som kreves for å opprettholde eller øke hastigheten, mens adhesjonen og lokomotivets framdriftssystem begrenser hva som faktisk kan overføres i grensesnittet mellom hjul og skinne. Disse begrepene knytter kjøretøyets ytelse direkte til linjeføringen og driftsforholdene.

Kjøretøybevegelse. Jernbanekjøretøy har vertikalbevegelse, stamping, rulling, sidebevegelse og giring gjennom primær- og sekundærfjæringen. Forenklede modeller med én og to frihetsgrader er nyttige fordi de viser hvordan masse, stivhet og dempning styrer egenfrekvens og responsamplitude. Selv om virkelige kjøretøy er mer komplekse, forklarer disse enkle modellene hvorfor innstilling av fjæringen og sporets stivhet påvirker kjørekomforten og de dynamiske belastningene i stor grad.

Eksitasjon. En sporujevnhet blir en dynamisk påvirkning når toget passerer den, og eksitasjonsfrekvensen bestemmes av kjøretøyets hastighet dividert med ujevnhetens bølgelengde. Svillepasseringsfrekvens, bølgelengden til rifler og bølger på skinnene, hjulslag og feil i linjeføringen kan dermed eksitere egensvingningsformer i kjøretøyet eller sporet dersom frekvensene ligger nær en egenfrekvens. Derfor kan en hastighetsøkning forvandle en ufarlig ujevnhet til et skadelig vibrasjonsproblem.

Sporstivhet. Sporet er ikke et stivt fundament: Skinner, mellomlegg, sviller, ballast og underbygning utgjør et lagdelt dynamisk system med stivhet og dempning som varierer med frekvens og belastningsnivå. For lav stivhet kan gi for stor nedbøyning og setning, mens for høy stivhet kan øke slagkreftene og vibrasjonsoverføringen. God sporkonstruksjon tar derfor sikte på innbyrdes tilpasset stivhet framfor ganske enkelt å gjøre alle lag så stive som mulig.

Vedlikehold. Kurvekrefter, trekkraftgrenser, resonans, svillepassering og frekvensavhengig opplagring påvirker skinneslitasje, ballastnedbrytning, forringelse av sporgeometrien og passasjerkomfort. Kapitlet danner derfor den mekaniske forbindelsen mellom de tidligere kapitlene om belastning og senere temaer som hjul–skinne-samvirke, helsveist spor, støy, vibrasjon og vedlikeholdsplanlegging.

Oppgaver

Oppgave 1: Dynamisk togbevegelse

(a) Hvilke to hovedtyper motstand må et tog overvinne for å begynne å bevege seg eller opprettholde bevegelsen?

(b) Figuren nedenfor viser typisk spesifikk grunnmotstand for et eldre lokomotivtrukket tog, et nyere lokomotivtrukket tog og et moderne motorvognsett. Hvorfor har eldre togtyper vanligvis høyere motstand?

(c) Et elektrisk EL 18-lokomotiv trekker lastede vogner med konstant hastighet \(v=140\) km/h på rett spor. Lokomotivmassen er \(M_\mathrm{loc}=82{,}2\) t, og starttrekkraften er 275 kN. Bruk en tilgjengelig trekkraft ved 140 km/h på 150 kN i beregningen. Lokomotivets grunnmotstand er

\[ w_{\mathrm{train,loc}} = 2{,}2 + 3\left(\frac{v}{100}\right)^2 \quad [‰], \]

og vognenes spesifikke grunnmotstand er \(w_{\mathrm{train,wag}}=5\) ‰.

(i) Beregn minste nødvendige adhesjonskoeffisient når lokomotivet bruker maksimal tilgjengelig trekkraft ved start.

(ii) Beregn den største massen av lastede vogner som ett EL 18-lokomotiv kan trekke opp en stigning på 6 ‰ ved 140 km/h. Bestem også hvor mange fullastede vogner som kan trekkes dersom hver vogn har to boggier med to aksler per boggi og en maksimal aksellast på 18 t.

(iii) Hvor bratt kan den maksimale stigningen være når to EL 18-lokomotiver trekker 980 t med lastede vogner ved 140 km/h under våte forhold (\(\mu=0{,}15\))? Anta rett spor og konstant hastighet.

Oppgave 2: Vognmodell med tre frihetsgrader og trekkraft

En forenklet vogn med trekkraft kan modelleres som vist nedenfor med tre generaliserte koordinater: langsgående forskyvning \(x(t)\), vertikal forskyvning \(z(t)\) og stampingsvinkel \(\chi(t)\). Den fjærede massen er \(m\), og treghetsmomentet for stamping om dens tyngdepunkt er \(J\). Hver hjulsats har masse \(m_w\). Primærfjæringen har stivhet \(k\) og dempningskoeffisient \(c\), og hver trekkstang har langsgående stivhet \(k_{tr}\). Avstanden mellom de to hjulsatsene er \(2L\). Den nominelle høydeforskjellen mellom tyngdepunktet til den fjærede massen og nivået for trekkstang/kobbel er \(h\).

Anta at hjulsatsene ikke mister kontakten med skinnene. De foreskrevne vertikale bevegelsene deres er \(z_{w1}(t)\) og \(z_{w2}(t)\). Toghastigheten er \(v(t)=v_0+at\), der \(a\) er konstant akselerasjon, og det vertikale sporprofilet beskrives av \(z_t(s)\). Bruk fortegnkonvensjonen i figuren: Ved hjulsats 1 er vognkassens vertikale forskyvning \(z-\chi L\), mens den ved hjulsats 2 er \(z+\chi L\).

(a) Utled de tre bevegelsesligningene for den fjærede massen.

(b) Skriv de resulterende masse-, dempnings- og stivhetsmatrisene og lastvektoren på formen \(\mathbf{M}\ddot{\mathbf{q}}+\mathbf{C}\dot{\mathbf{q}}+\mathbf{K}\mathbf{q} =\mathbf{f}(t)\), der \(\mathbf{q}=\{x,z,\chi\}^T\).

(c) Angi uttrykk for de to vertikale kontaktkreftene \(Q_1\) og \(Q_2\) mellom hjul og skinne, inkludert akselerasjonsleddene for hjulsatsene.

(d) Hva betyr resonansformen opplagt–opplagt for sporreceptansen? (Stabilitet ved hunting-bevegelse og egenskaper ved kurvekjøring behandles separat i kapittel 10.)

Oppgave 3: Sporreceptans og dynamisk respons

(a) Hva betyr sporreceptans, og hvorfor er topper i receptansen viktige for dynamisk tog–spor-samvirke?

(b) Gi tre eksempler på periodiske eller impulsive eksitasjonskilder som kan gi store dynamiske hjullaster når tvangsfrekvensen nærmer seg et av sporets resonansområder.

(c) Forklar hvordan en endring i toghastigheten enten kan øke eller redusere den dynamiske forsterkningen fra en gitt bølgelengde for en skade.

Oppgave 4: Sporets sidemotstand

Sporforskyvning kan oppstå hyppig i krappe kurver. Foreslå minst fem tiltak som kan redusere dette problemet. Minst to av forslagene skal være sett fra togets eller kjøretøyets perspektiv. Forklar kort hvorfor hvert forslag virker.

Oppgave 5: Resonans og eksitasjonsfrekvens

Et tog kjører med 160 km/h på et ballastert spor med svilleavstand \(l=0{,}60\) m. Det finnes også kortbølgede rifler med bølgelengde \(\lambda=0{,}18\) m.

(a) Beregn svillepasseringsfrekvensen og eksitasjonsfrekvensen fra riflene.

(b) Angi hvilket karakteristisk frekvensområde i sporet hver eksitasjon mest sannsynlig nærmer seg: vertikal ballastbevegelse, mellomleggsresonans eller skinnens opplagt–opplagt-resonans.

(c) Gjenta beregningen for 80 km/h, og forklar hvorfor en hastighetsendring kan redusere den dynamiske forsterkningen.

Oppgave 6: Kjøretøyets egensvingningsformer og bølgelengder for ujevnheter

Et kjøretøy har en vertikalsvingning i vognkassen ved omtrent 1,1 Hz og en kinematisk egensvingningsform for boggien ved omtrent 4,5 Hz. For en toghastighet på 100 km/h:

(a) Beregn bølgelengden for sporujevnheter som vil eksitere hver egensvingningsform.

(b) Forklar hvorfor langbølgede geometriske feil hovedsakelig påvirker vognkassens bevegelse, mens kortere bølgelengder kan eksitere boggier og hjulsatser.

(c) Gi to eksempler på sporskader eller vedlikeholdstilstander som kan skape periodisk eksitasjon.