Geometrisk utforming av spor
En valgfri KI-generert oversikt. Det skriftlige kapitlet er den autoritative kilden.
7.1 Innledning
Den geometriske utformingen av en jernbanelinje definerer sporets tredimensjonale linjeføring [68, 10, 148]. Den bestemmer tillatte hastigheter, passasjerkomfort, togstabilitet, slitasje på sporet og linjens energiforbruk. Linjeføringen defineres i et koordinatsystem og består av en horisontaltrasé (plan) og en vertikaltrasé (lengdeprofil). Sammen definerer disse hvert punkt i sporet i rommet.
Figur 7.1 viser den praktiske rammen for denne prosjekteringsoppgaven: Linjeføringen må følge terrenget samtidig som sporkurvatur, elektrifisering og den øvrige jernbanekorridoren samordnes.
Sporgeometrisk prosjektering må avveie flere konkurrerende mål:
-
Maksimere driftshastigheten for å øke banens kapasitet og redusere reisetiden
-
Minimere kreftene på spor og rullende materiell for å redusere slitasje og vedlikehold
-
Sikre passasjerkomfort ved å begrense sideakselerasjoner og vertikalakselerasjoner
-
Oppnå en kostnadseffektiv utforming uten unødvendig omfattende massearbeider
-
Oppfylle sikkerhetskravene for alle kjøretøytyper som skal trafikkere banen
Valget av trasé for en ny jernbanelinje påvirkes av geografiske, tekniske, miljømessige, politiske, sosiale og økonomiske forhold. Nyere offentlig tilgjengelige norske prosjekttall gir en nyttig størrelsesorden: Komplekse dobbeltsporede intercitykorridorer koster ofte om lag 1–3 millioner NOK per trasémeter, eller 1–3 milliarder NOK per trasékilometer, målt i nominelle priser for prosjektåret. Bane NOR oppgir at Drammen–Kobbervikdalen omfatter om lag 10 km nytt dobbeltspor med en samlet kostnad på 13 milliarder NOK, tilsvarende omtrent 1,3 millioner NOK/m (1,3 milliarder NOK/km). Sandbukta–Moss–Såstad er også om lag 10 km og fikk en foreslått kostnadsramme på 27,6 milliarder NOK etter store utfordringer med grunnstabiliteten i Moss, tilsvarende om lag 2,8 millioner NOK/m (2,8 milliarder NOK/km) [53, 21, 157]. Summene omfatter stasjoner, tunneler, arbeider i byområder, grunnforsterkning, jernbanetekniske systemer og annet prosjektspesifikt omfang. Hovedpoenget for linjeføringen er enkelt: Hver ekstra meter med krevende linjeføring kan representere millioner av NOK. Geometriske valg som styrer massearbeider, tunneler, bruer og grunnforsterkning er derfor blant de mest betydningsfulle beslutningene i jernbaneteknisk prosjektering.
7.1.1 Modellforutsetninger
I beregningene i dette kapitlet behandles jernbanens linjeføring som et begrenset problem for kjøretøy–spor-samvirke. Horisontaltraséen og vertikaltraséen bestemmer den kinematiske påvirkningen på kjøretøyet, som responderer gjennom fjæringsbevegelser, hjul–skinne-kontaktkrefter, krypkrefter og lastoverføring. Prosjekteringsparametrene i dette kapitlet er derfor ikke uavhengige: Overhøyde, kurvatur, hastighet, overgangslengde, kjøretøytype, aksellast og vedlikeholdstilstand danner et koblet system.
Ligningene nedenfor er førsteordens prosjekteringsligninger. De forutsetter kvasistatisk bevegelse, små overhøydevinkler, et stivt sporplan og en effektiv sporavstand \(s\) mellom rullekontaktpunktene i stedet for den nominelle sporvidden. Forutsetningene er egnet til innledende prosjekteringsberegninger, men er ikke tilstrekkelige for endelig godkjenning av høyhastighetsbaner, krengetog, sporveksler og sporkryss, bruer eller steder med dårlig sporkvalitet. I slike tilfeller må kjøretøyspesifikke dynamiske simuleringer, krav til strekningstillatelse og gjeldende teknisk regelverk fra Bane NOR legges til grunn for den endelige utformingen.
De viktigste variablene for geometrisk utforming i dette kapitlet er definert i tabell 7.1.
| Symbol | Betydning | Typisk enhet / merknad |
|---|---|---|
| \(R\) | Horisontal kurveradius | m |
| \(R_v\) | Vertikal kurveradius | m |
| \(v\), \(V\) | Toghastighet | \(v\) i m/s i mekaniske ligninger; \(V\) i km/h i mange jernbanetekniske prosjekteringsformler |
| \(h\) eller \(h_m\) | Anvendt overhøyde | mm, unntatt ved innsetting i SI-ligninger, der meter må brukes |
| \(I\) | Manglende overhøyde | mm; tilsvarer ukompensert sideakselerasjon gjennom \(j_u=gI/s\) |
| \(I_e\) | Overskuddshøyde | mm; dimensjonerende for langsomme tog og stoppesteder |
| \(L_t\) | Overgangskurvelengde | m |
| \(x\) | Avstand målt fra starten av en overgangskurve | m; \(0 \leq x \leq L_t\) |
| \(T_v\) | Tangentlengde for vertikalkurven, målt fra brytningspunktet til starten eller slutten av vertikalkurven | m |
| \(a_v\) | Størrelsen på vertikalakselerasjonen som skyldes vertikalkurvaturen | m/s\(^2\) |
| \(s\) | Effektiv sporavstand mellom rullekontaktpunktene | om lag 1500 mm ved prosjekteringsberegninger for normalspor |
7.2 Elementer i sporets trasé
Sporgeometrien bygges opp av et lite antall horisontale og vertikale elementer som kombineres for å oppfylle krav knyttet til hastighet, komfort, terreng og bygging. De tilsvarende feilene i sporet introduseres i kapittel 4; dette kapitlet etablerer prosjekteringsparameterne, og kapittel 17 presenterer grenseverdiene for vedlikehold.
7.2.1 Oversikt
En jernbanelinjes geometri består av horisontale og vertikale elementer:
Horisontal retning:
-
Rettlinje (tangentspor)
-
Sirkelkurve
-
Overgangskurve (klotoide)
-
Overhøyde
Vertikal retning:
-
Stigning eller fall (rett stigningslinje)
-
Vertikalkurve (parabel eller sirkelbue)
7.2.2 Rettlinje
Et rettlinjet spor (tangentspor) følger en rett linje. Det gir:
-
Direkte og effektiv togframføring med maksimal hastighet
-
Enklere og vanligvis rimeligere bygging og vedlikehold
-
Hastighetsoptimalisering uten behov for overhøyde
På rettlinjet spor oppstår ingen sentrifugalkraft, og passasjerene påvirkes derfor bare av sidekrefter fra ujevnheter i sporet. Driftsmessig kan svært lange og visuelt monotone rettlinjer imidlertid gi lokomotivføreren lav oppgavebelastning. Studier med togsimulator og EEG knytter slike monotone kjøreforhold til tretthet, redusert årvåkenhet og svekket ytelse [63, 127]. Der trasébegrensningene tillater det, kan dette menneskelige hensynet tale for slak kurvatur i stedet for en lang rettlinje uten annen begrunnelse.
7.2.3 Sirkelkurver
Sirkelkurver brukes der traséen må endre retning. De kjennetegnes av en konstant radius \(R\). Mindre radier gjør det mulig å endre retning over kortere avstander, men begrenser tillatt hastighet.
Et tog som kjører med hastighet \(v\) gjennom en kurve med radius \(R\) utsettes for en sentripetalakselerasjon (sideakselerasjon) rettet mot kurvens sentrum [68, 130]:
Denne akselerasjonen må håndteres med overhøyde og ved å begrense hastigheten.
7.2.4 Overgangskurver
En overgangskurve (klotoide, også kalt innkjøringskurve eller spiral) gir en gradvis endring i kurvaturen fra null (på rettlinjen) til \(1/R\) (på sirkelkurven). Kurvaturen endres lineært med avstanden langs overgangskurven:
der \(x\) er løpende avstand målt fra starten av overgangskurven, \(r\) er den momentane kurveradien i dette punktet, \(R\) er sirkelkurvens radius, og \(L_t\) er den samlede overgangslengden. Dermed gir \(x=0\) null kurvatur, mens \(x=L_t\) gir sirkelkurvens kurvatur \(1/R\). Det finnes andre former for overgangskurver, men klotoider foretrekkes vanligvis i jernbaneprosjektering fordi kurvaturen endres lineært med avstanden og derfor kan samordnes direkte med rampene for overhøyde og manglende overhøyde. Det geometriske prinsippet er at sporet gradvis forlater rettlinjen og nærmer seg sirkelkurven uten en brå endring i kurvaturen (figur 7.2).
Overgangskurver har tre formål:
-
Gradvis innføre sidekrefter når toget kjører inn i kurven (passasjerkomfort)
-
Gi tilstrekkelig avstand til å bygge opp overhøyden fra null til full verdi (sporgeometri)
-
Redusere dynamiske krefter på sporet ved å unngå brå endringer i kurvaturen (vedlikehold)
En fullstendig horisontaltrasé har derfor en tydelig rekkefølge: rettlinje, overgangskurve, sirkelkurve, overgangskurve og deretter rettlinje igjen (figur 7.3).
7.3 Overhøyde
Overhøyden er en av de viktigste forbindelsene mellom geometri og kjøretøydynamikk, fordi den bestemmer hvor stor del av sentrifugalvirkningen som balanseres i kurver.
7.3.1 Definisjon og formål
Overhøyde (engelsk: superelevation, også omtalt som cant), betegnet \(h\), er høydeforskjellen mellom den ytre og den indre skinnen i en kurve. Ytterskinnen heves slik at resultanten av togets tyngde og sentrifugalkraften virker mer vinkelrett på sporplanet. Dette reduserer sidekraften på hjulene og forbedrer passasjerkomforten. Nødvendig overhøyde velges ut fra kurveradiusen og dimensjonerende hastighet, slik at tyngdevirkningen og sentrifugalvirkningen balanseres så godt som praktisk mulig for trafikken på banen. Riktig utforming av overhøyden forbedrer komforten og reduserer hjul–skinne-slitasjen, mens for stor eller for liten overhøyde må kontrolleres mot grensene for manglende overhøyde og overskuddshøyde.
Geometrisk er overhøyden høydeforskjellen mellom skinnene som danner det skrå sporplanet i en kurve (figur 7.4).
7.3.2 Likevektshastighet og teoretisk overhøyde
Når et tog kjører med likevektshastigheten \(v_\mathrm{eq}\), balanserer overhøyden sentrifugalkraften nøyaktig, og passasjerene utsettes ikke for noen resulterende sidekraft. Likevektsbetingelsen for små overhøydevinkler (slik at \(\cos\varphi \approx 1\) og \(\tan\varphi \approx h/s\)) gir:
Løst med hensyn på likevektshastigheten:
der \(s = 1500\) mm er den effektive sporavstanden [10, 91] (senteravstanden mellom rullekontaktpunktene, som er litt større enn den nominelle sporvidden på 1435 mm), og \(g = 9{,}81\) m/s\(^2\). I ligningene 7.3– 7.5 er \(v\) angitt i m/s, og lengdene \(h\) og \(s\) må settes inn med samme enhet. I SI-beregninger omregnes begge vanligvis til meter. Den teoretiske overhøyden \(h_\mathrm{th}\) som kreves ved en gitt hastighet, er:
Dersom \(h_\mathrm{th}\) uttrykkes i millimeter og hastigheten i km/h, skrives det samme forholdet ofte på denne kompakte jernbaneformen:
der \(V\) er angitt i km/h og \(R\) i meter. Koeffisienten 11,8 følger av \(s \approx 1500\) mm og \(g = 9{,}81\) m/s\(^2\). Ved likevektshastigheten balanserer det skrå sporplanet sidevirkningen av bevegelsen gjennom kurven (figur 7.5).
7.3.3 Manglende overhøyde
Når et tog kjører raskere enn likevektshastigheten, er den anvendte overhøyden ikke stor nok til å kompensere sentripetalakselerasjonen fullt ut. Den gjenværende ukompenserte sideakselerasjonen oppleves som en sidekraft som skyver passasjerene mot utsiden av kurven. Den manglende overhøyden \(I\) er:
Den ukompenserte sideakselerasjonen er:
Største tillatte hastighet i en kurve bestemmes av største tillatte manglende overhøyde [10] \(I_\mathrm{max}\):
For tog som kjører raskere enn likevektshastigheten, er den sentrale størrelsen manglende overhøyde: forskjellen mellom den faktiske anvendte overhøyden og den større teoretiske overhøyden som kreves for å balansere den høyere hastigheten fullt ut. På nivået for hjul–skinne-kontakt kan den samme ubalansen illustreres som en tendens til at hjulsatsen beveger seg mot ytterskinnen (figur 7.6).
Største hastighet kan utledes ved å anvende Newtons andre lov i sideretningen. I en kurve med radius \(R\) og hastighet \(v\) utsettes en passasjer for den ukompenserte sideakselerasjonen \(j_u\):
Ved å sette \(j_u \leq j_{u,\mathrm{max}}\) og løse med hensyn på \(v\) fås:
Her er \(j_{u,\mathrm{max}}\) den maksimalt tillatte ukompenserte sideakselerasjonen for det aktuelle prosjekteringstilfellet. Siden manglende overhøyde er knyttet til denne maksimalt tillatte ukompenserte sideakselerasjonen gjennom \(I_\mathrm{max} = s \cdot j_{u,\mathrm{max}} / g\), kan dette uttrykkes ekvivalent som ligning 7.9:
7.3.3.1 Grenser for manglende overhøyde
Standardene fastsetter grenser for største manglende overhøyde for å ivareta hjul–skinne-sikkerhet og passasjerkomfort:
-
Nye baner og linjeomlegginger: I Bane NORs tekniske regelverk er verdiene vanligvis 100 mm for \(R \leq 600\) m og 130 mm for \(R > 600\) m.
-
Eksisterende konvensjonelle baner: Grensene kan være 100–150 mm, avhengig av radius, overbygningsklasse, sporveksler, bruer og godkjent kjøretøykategori.
-
Eksisterende baner med godkjente krengetog eller «plus»-materiell: Høyere kjøretøyspesifikke verdier kan tillates, men de krever uttrykkelig godkjenning og er ikke generelle prosjekteringsverdier.
Passasjerkomforten påvirkes av sideakselerasjonens størrelse, varighet og frekvens [148, 30]. Akseptabel ukompensert sideakselerasjon avhenger av reisens varighet og frekvensinnhold. Som en praktisk veiledning kan \(j_u \approx j_{u,t}/1{,}5\) brukes, der \(j_{u,t}\) er tolererbar sideakselerasjon for den aktuelle reisetypen og varigheten. Grensene for manglende overhøyde må derfor forstås som kriterier for komfort og sikkerhet som avhenger av kjøretøy og godkjenning, ikke som én universell verdi.
| Kjøretøy / tilfelle | Typisk grense eller konsekvens for prosjekteringen |
|---|---|
| Godstrafikk | Vanligvis det mest restriktive tilfellet; ofte begrenset til om lag 100 mm ved ordinær godstrafikk. |
| Konvensjonell persontrafikk | Ofte i området 100–150 mm, avhengig av hastighet, kjøretøygodkjenning og komfortkrav. |
| Krengetog for persontrafikk | Høyere verdier kan tillates fordi vognkassens krenging reduserer sideakselerasjonen som passasjerene opplever; særskilt godkjenning kreves. |
| Sporveksler, sporkryss, plattformer og bruer | Strengere lokale grenser kan gjelde på grunn av hjulavlastning, fritt profil, konstruksjonsforhold eller komfortkrav. |
Eksempelstudie: Avsporingen ved Santiago de Compostela (2013).
Den 24. juli 2013 sporet et Alvia-persontog av i A Grandeira-kurven utenfor Santiago de Compostela i Spania. Den offisielle CIAF-undersøkelsen dokumenterer en nødbremsing før signal E7 mens toget kjørte i 195 km/h. Det kjørte inn i kurven med 179 km/h og sporet av ved PK 84+413, 185 m etter kurvens begynnelse. Kurven hadde \(R=402\) m, anvendt overhøyde \(h=130\) mm og en hastighetsgrense på 80 km/h. Rapporten oppgir 80 omkomne og mange skadde [60]. Disse verdiene gjør det mulig å beregne manglende overhøyde direkte ved avsporingshastigheten.
Banen der ulykken skjedde, hadde en nominell sporvidde på 1668 mm, som er større enn sporvidden på 1435 mm i det norske jernbanenettet [2, 30]. I denne forenklede beregningen brukes \(s=1{,}668\) m direkte i den samme ligningen for likevektsoverhøyde som ble innført ovenfor. Først omregnes den registrerte avsporingshastigheten:
Teoretisk overhøyde og manglende overhøyde blir da
Den tilsvarende ukompenserte sideakselerasjonen er
Dette enkle overslaget ligger nær CIAFs resultat på 5,41 m/s\(^2\). Rapporten påpeker at dette var mer enn åtte ganger den normale grensen på 0,65 m/s\(^2\) og om lag 4,5 ganger verdien på 1,2 m/s\(^2\) som gjaldt for ulykkestoget [60]. Likevektsoverhøyden på om lag 1,05 m er et teoretisk resultat av kraftbalansen, ikke en praktisk gjennomførbar overhøyde i sporet. Det relevante jernbanetekniske resultatet er en manglende overhøyde på om lag 916 mm, som viser den ekstreme sideubalansen ved den registrerte avsporingshastigheten.
7.3.3.2 Krengetog
Krengetog bruker mekanismer som krenger vognkassen for å kompensere for manglende overhøyde. Vognkassen heller mot innsiden av kurven og øker dermed den virksomme helningen sett fra passasjerenes perspektiv. Rotasjonen av vognkassen i figur 7.7 viser prinsippet i praksis: Passasjeren opplever en større effektiv helning enn den som følger av sporets overhøyde alene.
To typer krengeteknologi brukes:
-
Passiv krenging: Krengevinkel på 2–4\(^\circ\); vognkassen krenger ved tyngdekraftens virkning når boggien kjører inn i kurven
-
Aktiv krenging: Krengevinkel på 6–8\(^\circ\); sensorer registrerer innkjøringen i kurven, og aktuatorer krenger vognkassen aktivt
Krengetog kan kjøre raskere enn tog uten krenging på en gitt kurvet linjeføring fordi passasjerene opplever mindre sideakselerasjon. Kreftene i sporet og mellom hjul og skinne bestemmes imidlertid av faktisk hastighet, radius, anvendt overhøyde og kjøretøyets godkjenningsgrunnlag. Krenging fjerner derfor ikke behovet for å kontrollere manglende overhøyde, hjulavlastning og sporkrefter.
7.3.4 Overskuddshøyde
I kravtabellene i Bane NORs tekniske regelverk brukes betegnelsen overskuddshøyde. Betegnelsen overskuddsoverhøyde forekommer også i forklarende fagtekst og betyr det samme. Dette kapitlet bruker overskuddshøyde som hovedbetegnelse.
Når et tog kjører langsommere enn likevektshastigheten, er den anvendte overhøyden for stor. Overskuddshøyden \(I_e\) er:
For stor overhøyde gir passasjerene en sidevirkning mot innsiden av kurven og kan gi skjev belastning av skinnene. Dette kan føre til slitasje på skinnehodet på innerskinnen og i ekstreme tilfeller til sporutvidelse eller velting. Hjulsatsens tendens er her motsatt av tilfellet med manglende overhøyde: Hjulsatsen beveger seg mot innerskinnen (figur 7.8).
Grensene for overskuddshøyde avhenger av om banen er ny eller eksisterende, og om den har blandet trafikk eller bare persontrafikk. Veiledende verdier fra Bane NORs tekniske regelverk er:
-
Nye baner med blandet trafikk: Normalkrav \(I_{e,\mathrm{max}} = 70\) mm, minstekrav \(I_{e,\mathrm{max}} = 100\) mm.
-
Eksisterende konvensjonelle baner: \(I_{e,\mathrm{max}} = 90\) mm for \(R \leq 600\) m og \(I_{e,\mathrm{max}} = 110\) mm for \(R > 600\) m.
7.3.5 Grenser for anvendt overhøyde
Den anvendte overhøyden \(h_m\) må oppfylle kriteriene for både manglende overhøyde og overskuddshøyde for alle tog som trafikkerer banen. For en bane med blandet trafikk, største hastighet \(v_\mathrm{max}\) og minste hastighet \(v_\mathrm{min}\) gjelder:
Den nedre grensen sikrer at de hurtigste togene (\(v_\mathrm{max}\)) får høyst \(I_\mathrm{max}\) manglende overhøyde: \(h_m \geq h_\mathrm{th}(v_\mathrm{max}) - I_\mathrm{max}\). Den øvre grensen sikrer at de langsomste togene (\(v_\mathrm{min}\)) får høyst \(I_{e,\mathrm{max}}\) overskuddshøyde: \(h_m \leq h_\mathrm{th}(v_\mathrm{min}) + I_{e,\mathrm{max}}\).
Denne ulikheten viser kortfattet hvorfor linjeføring for blandet trafikk er et problem med samtidige grensebetingelser. Stor overhøyde forbedrer forholdene for raske persontog, men forverrer dem for langsomme godstog eller tog som stanser. Dersom den nedre grensen er større enn den øvre, kan den angitte hastighetsblandingen ikke gjennomføres med valgt radius og valgte grenser. Den prosjekterende må da øke radiusen, skille trafikkslagene, redusere hastighetsforskjellen eller innhente et annet godkjenningsgrunnlag for kjøretøyet.
For nye baner i Norge gjelder:
-
Største anvendte overhøyde er normalt 150 mm. Baner med bare persontrafikk kan tillate høyere verdier etter normal- og minstekravene i det tekniske regelverket.
-
Ved \(v \leq 40\) km/h anordnes normalt ikke overhøyde. Dersom særlige forhold krever overhøyde, begrenses den normalt til 60 mm. Ved så lave hastigheter er sentrifugalvirkningen liten i forhold til den hevede ytterskinnen, og overhøyden gir hovedsakelig overskuddshøyde for langsomme eller stansede tog.
-
I kurver der tog ofte stanser, for eksempel ved plattformer eller planlagte signalstopp, foretrekkes mindre overhøyde for å begrense overskuddshøyden.
En hastighetsuavhengig kontroll mot avsporing ved lav hastighet må også oppfylles. For nye baner og linjeomlegginger bruker Bane NORs tekniske regelverk:
For eksisterende konvensjonelle baner er den tilsvarende kontrollen i det tekniske regelverket:
I begge de empiriske uttrykkene settes \(R\) inn i meter, og den resulterende grensen for \(h_m\) fås i millimeter.
Prosjekteringslogikken for blandet trafikk er dermed en avveining mellom samtidige grensebetingelser: Den anvendte overhøyden må være stor nok for de hurtigste togene, men liten nok til at de langsomste togene ikke får for stor overskuddshøyde. Ytterligere lokale grenser kan gjelde langs plattformer og i sporveksler og sporkryss.
7.3.6 Regneeksempel: Overhøyde og hastighet
Eksempel 1: En kurve har \(R = 1600\) m, \(s = 1500\) mm, \(h = 150\) mm og \(g = 9{,}81\) m/s\(^2\). Bruk den maksimalt tillatte ukompenserte sideakselerasjonen \(j_{u,\mathrm{max}} = 0{,}85\) m/s\(^2\). Finn likevektshastigheten og største tillatte hastighet.
Likevektshastighet:
Største tillatte hastighet:
Eksempel 2: Finn nødvendig kurveradius for \(v = 240\) km/h, \(h = 100\) mm, \(s = 1500\) mm og \(g = 9{,}81\) m/s\(^2\), med den maksimalt tillatte ukompenserte sideakselerasjonen \(j_{u,\mathrm{max}} = 0{,}85\) m/s\(^2\):
Med \(h = 150\) mm er nødvendig radius om lag 2427 m. Større overhøyde gjør det mulig å bruke mindre radius ved samme hastighet og kan dermed redusere massearbeidene på høyhastighetsbaner.
7.4 Utforming av overgangskurver
Overgangskurver gir den gradvise endringen som trengs mellom rettlinjer og sirkelkurver, særlig der overhøyde og manglende overhøyde må endres jevnt.
Figur 7.9 viser en kurveovergang i den fysiske korridoren. Kurven, overhøyden, kontaktledningsmastene og det omkringliggende terrenget må samordnes.
7.4.1 Formål og lengdekrav
I overgangen fra rettlinje til sirkelkurve må overhøyden bygges opp fra null til full verdi \(h\). Overgangskurven må være lang nok til å oppfylle tre uavhengige kriterier samtidig.
Overhøyderampen i figur 7.10 er utgangspunktet. Den viser først den romlige endringen i skinnehøyde gjennom overgangskurven. Passeringstiden knytter deretter geometrien til endringshastigheten som kjøretøyet opplever, og endringen i ukompensert sideakselerasjon introduserer rykkontrollen. Hver fysisk størrelse og tilhørende tillatte grense utvikles nedenfor før den tilsvarende minste lengden utledes.
Kriterium 1: Rampestigning \(\rho\) (avsporingsrisiko)
Rampestigningen \(\rho\) er endringen i overhøyde per lengdeenhet langs overgangskurven:
Når overhøyden bygges opp fra null til full anvendt verdi \(h\) over overgangslengden \(L_t\), er \(\Delta h=h\) og \(\Delta L=L_t\), slik at
Når \(\Delta h\) settes inn i millimeter og \(\Delta L\) i meter, fås \(\rho\) i mm/m, som er tallmessig lik promille:
Et typisk generelt krav er \(\rho\leq\rho_\mathrm{max}\), med \(\rho_\mathrm{max}=2{,}5\,\mathrm{mm/m}\); denne grensen tilsvarer et rampeforhold på 1:400. Når kravet anvendes og uttrykket omformes med hensyn på lengden, fås
Kandidatverdien for minste lengde fra rampestigningskriteriet er dermed \(L_1=h/\rho_\mathrm{max}\).
Kriterium 2: Rampestigningshastighet \(\Delta D\) (komfort)
Toget bruker tiden \(\Delta t=L_t/v\) gjennom overgangskurven. Rampestigningshastigheten blir derfor
Typiske grenser i Bane NORs tekniske regelverk er \(\Delta D_\mathrm{max} = 35\)–70 mm/s for nye baner, mens andre verdier brukes for eksisterende baner og godkjent rullende materiell. Kravet \(\Delta D\leq\Delta D_\mathrm{max}\) kan omformes slik:
Kandidatverdien for minste lengde fra rampestigningshastigheten er dermed \(L_2=vh/\Delta D_\mathrm{max}\).
Kriterium 3: Rykk i sideretningen \(\psi\)
Endringshastigheten for ukompensert sideakselerasjon (rykk) er:
Med \(\Delta t=L_t/v\) blir dette
Største tillatte rykk uttrykkes vanligvis i jernbanestandarder som endringshastigheten for manglende overhøyde, \(\mathrm{d}I/\mathrm{d}t\). For nye Bane NOR-baner tilsvarer dette om lag \(\psi_\mathrm{max} = 0{,}33\)–\(0{,}46\) m/s\(^3\) etter normal- og minstekravene, mens andre verdier kan brukes for eksisterende baner og særskilt rullende materiell. Den maksimalt tillatte ukompenserte sideakselerasjonen som svarer til største manglende overhøyde \(I_\mathrm{max}\), er \(j_{u,\mathrm{max}} = g\,I_\mathrm{max}/s\), der \(g \approx 9{,}81\) m/s\(^2\) og \(s \approx 1{,}5\) m er den effektive sporavstanden mellom rullekontaktpunktene. I dette uttrykket må \(I_\mathrm{max}\) og \(s\) ha samme lengdeenhet. Dersom \(I_\mathrm{max}\) og \(s\) begge settes inn i millimeter, er forholdet dimensjonsløst. Dersom SI-enheter brukes, må \(I_\mathrm{max}\) først omregnes til meter. Siden \(I\) selv avhenger av hastigheten, kan detaljerte kontroller etter det tekniske regelverket basert på endringshastigheten for manglende overhøyde kreve iterasjon. I den dimensjonerende kontrollen settes \(\Delta j_u=j_{u,\mathrm{max}}\), og kravet er \(\psi\leq\psi_\mathrm{max}\). Omforming gir
Kandidatverdien for minste lengde fra rykkriteriet er dermed \(L_3=vj_{u,\mathrm{max}}/\psi_\mathrm{max}\).
De tre kriteriene setter bruks- og sikkerhetsgrenser for det samme geometriske elementet. Rampestigningen begrenser vindskjevhet og hjulavlastning, rampestigningshastigheten begrenser rullebevegelsen som påføres vognkassen, og rykkriteriet begrenser hvor raskt passasjerer og kjøretøyfjæring utsettes for ukompensert sideakselerasjon. Kandidatverdiene sammenlignes derfor først etter at alle tre er utledet.
Dimensjonerende minste overgangslengde er:
Standardene og de nasjonale reglene angir også absolutte minstekrav og supplerende kontrolluttrykk [10, 91]. Det nøyaktige settet avhenger av prosjekteringstilfellet, men typiske innledende kontroller omfatter dem som er vist i tabell 7.3.
| Kontroll | Enheter for inndata | Tolkning |
|---|---|---|
| \(L > 4{,}5\) m | Ikke relevant | Absolutt minste lengde. |
| \(L > 0{,}41 V_\mathrm{max}\) | \(V_\mathrm{max}\) i km/h | Minste lengde proporsjonal med dimensjonerende hastighet. |
| \(L > 8 I_\mathrm{lim} v_\mathrm{max}\) | \(I_\mathrm{lim}\) i m; \(v_\mathrm{max}\) i m/s | Kontroll av endringshastighet med den største relevante grensen for manglende overhøyde eller overskuddshøyde. |
| \(L > 0{,}118 V^3/R\) | \(V\) i km/h; \(R\) i m | Kontroll av kurvatur og hastighet uttrykt med kompakte jernbaneenheter. |
7.4.2 Regneeksempel: Overgangskurvelengde
Eksempel 3: Gitt \(v = 180\) km/h \(= 50\) m/s, \(h = 100\) mm, en streng prosjektgrense \(\Delta D_\mathrm{max} = 28\) mm/s og \(\rho_\mathrm{max} = 2{,}5\) mm/m. Bruk den maksimalt tillatte ukompenserte sideakselerasjonen \(j_{u,\mathrm{max}} = 0{,}65\) m/s\(^2\) og \(\psi_\mathrm{max} = 0{,}16\) m/s\(^3\).
Rykkriteriet er dimensjonerende; \(L_{t,\mathrm{min}} = 203{,}1\) m \(\approx 205\) m (avrundet opp til nærmeste 5 m).
Eksempel 4: Overgangslengde når \(j_u\) ikke er oppgitt. Betrakt en kurve med \(R=1000\) m, \(v=90\) km/h \(=25\) m/s, anvendt overhøyde \(h=60\) mm, \(\Delta D_\mathrm{max}=28\) mm/s, \(\rho_\mathrm{max}=2{,}5\) mm/m, \(\psi_\mathrm{max}=0{,}16\) m/s\(^3\), \(s=1500\) mm og \(g=9{,}81\) m/s\(^2\). Her er den ukompenserte sideakselerasjonen ikke oppgitt direkte og må derfor først beregnes fra kurvegeometrien og hastigheten.
Beregn først den ukompenserte sideakselerasjonen:
der både \(h\) og \(s\) settes inn i millimeter i det andre leddet, slik at forholdet mellom dem er dimensjonsløst. Rykkriteriet gir deretter
Kriteriet for rampestigningshastighet er dimensjonerende, og minste overgangslengde er derfor \(L_{t,\mathrm{min}} = 53{,}6\) m. I et prosjekteringsgrunnlag skal denne verdien avrundes oppover og kontrolleres mot de absolutte minstekravene til overgangslengde i tabell 7.3.
7.5 Vertikaltrasé
Vertikaltraséen styrer stigninger, fall og vertikalkurver og må samordnes med horisontaltraséen for å unngå drifts- og komfortproblemer.
7.5.1 Vertikal stigning og fall
Vertikal stigning eller fall, uttrykt i promille (‰) eller prosent, beskriver sporets helning i vertikalplanet. En positiv verdi angir stigning, mens en negativ verdi angir fall. I lengdeprofilet avleses helningen som høydeforskjellen over en definert horisontal avstand (figur 7.11). For en horisontal avstand \(L\) og en høydeforskjell \(\Delta H\) er fortegnsbestemt helning \(c_+ = +1000\,\Delta H/L\,[‰]\) ved stigning og \(c_- = -1000\,\Delta H/L\,[‰]\) ved fall.
Den bestemmende stigningen defineres som den største gjennomsnittlige helningen som finnes ved å forbinde to vilkårlige punkter med 1000 m avstand langs lengdeprofilet [130, 148]. Definisjonen er særlig relevant for norske fjellstrekninger, der helningen over lange avstander er den bindende prosjekteringsbegrensningen, ikke den største helningen i ett enkelt punkt.
7.5.2 Vertikalkurver
Vertikalkurver forbinder to rette stigningslinjer slik at endringen i vertikalakselerasjon skjer gradvis. Uten en vertikalkurve ville den momentane helningsendringen i et stigningsbrudd gitt uakseptable dynamiske krefter og dårlig passasjerkomfort. I norske prosjekteringsregler fremstilles vertikalkurver for jernbane vanligvis som sirkelbuer med stor radius. Parabelkurver er også mye brukt i internasjonal jernbane- og vegpraksis fordi de gir en konstant endringshastighet for helningen.
Ved en helningsendring fra \(c_1\) til \(c_2\), der helningene uttrykkes som desimaltall, er endringen:
For en sirkelformet vertikalkurve med radius \(R_v\) gir småvinkeltilnærmingen \(\Delta\theta\approx\Delta c\) den samlede vertikalkurvelengden
Starten og slutten av kurven plasseres med lik stasjonsavstand på hver side av brytningspunktet (BP; engelsk PVI). Tangentavstanden fra BP til hver kurvegrense er derfor halvparten av den samlede lengden:
Dermed dekker \(L_v\) hele vertikalkurven, mens \(T_v\) bare dekker én av de to like halvdelene. Symbolet \(T_v\) brukes her i stedet for liten \(l\), slik at tangentavstanden ikke kan forveksles med tallet 1.
Konstruksjonen bak dette forholdet er den samme for lavbrekk og høybrekk (figur 7.12).
![Konstruksjon av vertikalkurver ved lavbrekk og høybrekk. Kilde: Bane NORs sporgeometrimateriale [19].](../../assets/chapters/ch07/original/figures/bane_nor_sporgeometri_vertikalkurver.png)
Nevnerne i Bane NORs radiusformler er ikke uavhengige geometriske konstanter. De kombinerer en grense for vertikalakselerasjonen som skyldes kurvaturen, med omregningen fra km/h til m/s. For et kjøretøy med hastighet \(v\) gjennom en sirkelformet vertikalkurve er størrelsen på vertikalakselerasjonen
der \(V\) er dimensjonerende hastighet i km/h. Løses uttrykket med hensyn på radiusen, fås
Den avrundede koeffisienten \(2{,}6\) svarer til \(12{,}96(0{,}20)=2{,}592\approx2{,}6\), mens \(3{,}9\) svarer til \(12{,}96(0{,}30)=3{,}888\approx3{,}9\). Normalkravet representerer dermed en lavere grense for vertikalakselerasjon på om lag \(0{,}20\) m/s\(^2\) og gir derfor større radius. Minstekravet svarer til om lag \(0{,}30\) m/s\(^2\) og tillater mindre radius. Bane NOR publiserer de avrundede formlene og de absolutte minsteverdiene i tabell 7.4; normalkravet er standardvalget, mens minstekravet forbeholdes et aktuelt og begrunnet tilfelle [10].
| Krav | Prosjekteringsformel | Absolutt minste radius |
|---|---|---|
| Normal prosjekteringsradius | \(R_{v,\mathrm{normal}} = V^2/2{,}6\) | Om lag 4000 m |
| Minste prosjekteringsradius | \(R_{v,\mathrm{min}} = V^2/3{,}9\) | Om lag 2500 m |
Eksisterende baner, sporveksler og sporkryss, plattformområder og særskilte konstruksjoner må kontrolleres mot gjeldende tilfellestabell i det tekniske regelverket for det aktuelle prosjekteringstilfellet.
7.5.3 Regneeksempel: Vertikal helning og vertikaltrasé
Følgende eksempel kombinerer beregning av vertikal helning, dimensjonering av vertikalkurve og kontroll av geometrisk overlapp. Brytningspunktet (BP; engelsk PVI) er stedet der den innkommende og utgående rette stigningslinjen møtes før de forbindes med en vertikalkurve. Punktet ligger ved km 25+000. Høyden øker fra 112,00 m ved km 24+000 til 120,00 m ved BP og faller deretter til 116,00 m ved km 26+000. Dimensjonerende hastighet er 160 km/h, og en horisontal overgangskurve begynner 50 m før BP. Bestem de fortegnsbestemte helningene, normal og minste vertikalkurveradius, tilhørende kurvelengder og om den horisontale overgangskurven oppfyller avstandskravet på 15 m.
De fortegnsbestemte helningene er
Før ligningene for vertikalkurven brukes, omregnes helningene fra promille til desimaltall: \(c_1=+0{,}008\) og \(c_2=-0{,}004\). Dermed er
Ved 160 km/h blir normal og minste prosjekteringsradius
Begge verdiene er større enn de tilsvarende absolutte minsteverdiene for radius i tabell 7.4.
For normalradiusen er
For minste radius er
Den horisontale overgangskurven begynner 50 m før BP. Kilometreringen følger derfor direkte av den oppgitte kilometreringen til BP:
Her betegner \(\mathrm{Sta}\) kilometreringen langs sporet, og HO betegner starten på den horisontale overgangskurven. De tilhørende startpunktene for vertikalkurvene er
La \(\Delta s\) betegne den absolutte avstanden i kilometrering mellom to geometrigrenser. Størrelsen er en avstand, ikke overhøydeunderskudd. De to avstandene blir dermed
Begge er mindre enn 15 m. Overlappen oppfyller derfor ikke det normale avstandskravet og må flyttes eller vurderes som et samlet tredimensjonalt problem for kjøretøy–spor-samvirke.
7.5.4 Samordning av horisontaltrasé og vertikaltrasé
Horisontale overgangskurver og vertikalkurver skal samordnes nøye. En stor samtidig endring i kurvatur, overhøyde og vertikalakselerasjon på samme sted kan øke hjulavlastningen og redusere passasjerkomforten. Som prosjekteringsprinsipp bør starten eller slutten av en horisontal overgangskurve ikke plasseres ved samme kilometrering som et vertikalt stigningsbrudd. Bane NORs tekniske regelverk [10] begrenser også sammenfall mellom vertikalkurver med liten radius (\(R_v < 10000\) m) og horisontale overgangskurver eller sporveksler. Det kreves normalt minst 15 m avstand, unntatt ved lave hastigheter. Dersom sammenfall ikke kan unngås, skal geometrien kontrolleres som et samlet tredimensjonalt problem for kjøretøy–spor-samvirke i stedet for som uavhengige horisontale og vertikale elementer.
7.6 Oppsummering av kapitlet
Togets bane. Linjeføringen er den tredimensjonale banen som kjøretøyet må følge, og styrer derfor hastighet, komfort, sidekraft, slitasje, byggbarhet og vedlikeholdsbehov. Rettlinjer, sirkelkurver, overgangskurver, vertikale helninger og vertikalkurver er ikke uavhengige tegningselementer. De virker sammen og former det dynamiske miljøet som kjøretøy og passasjerer utsettes for.
Kurver og overhøyde. For en gitt kurveradius krever høyere hastighet større likevektsoverhøyde. I praksis begrenses anvendt overhøyde av bygging, vedlikehold og drift med blandet trafikk. Noen tog kjører derfor med manglende overhøyde og andre med overskuddshøyde. Prosjekteringsoppgaven er å velge en kombinasjon som holder passasjerkomfort, hjul–skinne-krefter og godstrafikk innenfor akseptable grenser, i stedet for å optimalisere for bare én togtype.
Overganger. En overgangskurve innfører gradvis kurvatur og overhøyde, reduserer rykk i sideretningen og unngår brå endringer i hjul–skinne-kreftene. Lengden må være tilstrekkelig for overhøyderampen, kurvaturendringen og komfortkravene. Korte overganger kan oppfylle en enkel geometrisk forbindelse, men kan gi dårlig kjørekvalitet, økt vedlikehold og hastighetsbegrensninger, særlig på høyhastighetsbaner eller baner med blandet trafikk.
Vertikal geometri. Stigninger og fall påvirker togmotstand og bremsekrav, mens vertikalkurver styrer komforten og endringshastigheten for vertikalakselerasjonen. Horisontal og vertikal geometri må også samordnes slik at kurver, overganger, bruer, tunneler, plattformer og dreneringsbegrensninger ikke skaper motstridende krav. En geometrisk gyldig linje er ikke nødvendigvis driftsmessig god dersom de vertikale og horisontale elementene er dårlig kombinert.
Prosjekteringskompromiss. Standardene angir grenser for overhøyde, manglende overhøyde, overgangslengde, stigninger og vertikalkurver, men den prosjekterende må fortsatt vurdere hvordan jernbanen skal brukes. Hastighet for person- og godstog, stoppmønster, terreng, byggbarhet, fremtidig vedlikehold og mulige krengetog påvirker den endelige geometrien. Den beste utformingen er den der hastighet, komfort, sikkerhet og vedlikeholdbarhet støtter hverandre.
Oppgaver
Oppgave 1: Linjeføring og overgangskurver for høy hastighet
En ny høyhastighetsbane prosjekteres for \(v_\mathrm{max} = 250\) km/h. Linjeføringen må håndtere en retningsendring på 15\(^\circ\) i krevende terreng.
(a) Før beregningene gjennomføres, identifiser to mulige strategier for å føre linjen gjennom terrenget (for eksempel en skarpere daglinje, en lengre tunnel eller en lengre omveg). Angi den viktigste fordelen og ulempen ved hver strategi.
(b) Forklar hvorfor forventet trafikkmengde, anleggskostnad og fremtidig vedlikeholdskostnad må vurderes før endelig trasé velges.
(c) Bestem nødvendig minste kurveradius dersom \(h = 150\) mm og \(I_\mathrm{max} = 100\) mm.
(d) Bestem minste overgangskurvelengde med \(I_\mathrm{max}=100\) mm, \(\rho_\mathrm{max} = 2{,}5\) mm/m, \(\Delta D_\mathrm{max} = 28\) mm/s og \(\psi_\mathrm{max} = 0,16\) m/s\(^3\). Hvilket kriterium er dimensjonerende?
(e) Anbefal en foretrukket strategi for dette stedet, og forklar hvilke tilleggsopplysninger du ville etterspurt før linjeføringen fastlegges.
Oppgave 2: Utforming av overhøyde for blandet trafikk
En bane trafikkeres av både persontog med høy hastighet (\(v = 200\) km/h) og godstog (\(v_\mathrm{min} = 60\) km/h). Bestem følgende for en kurve med \(R = 2000\) m:
(a) Teoretisk overhøyde for persontogene
(b) Teoretisk overhøyde for godstogene
(c) Området for tillatt anvendt overhøyde \(h_m\) som oppfyller kravene til både manglende overhøyde (\(I_\mathrm{max} = 100\) mm) og overskuddshøyde (\(I_{e,\mathrm{max}} = 100\) mm)
(d) Anbefalt anvendt overhøyde for blandet trafikk
Linjeparametre: \(R = 2000\) m, \(v_\mathrm{hurtig} = 200\) km/h, \(v_\mathrm{langsom} = 60\) km/h.
Oppgave 3: Kurvehastighet for krengetog
Et krengetog med aktiv krenging (\(\alpha_T = 6^\circ\), tilsvarende \(h_t = s \cdot \tan\alpha_T \approx 157\) mm) kjører i en kurve med \(R = 800\) m og overhøyde \(h = 120\) mm. Beregn største hastighet krengetoget kan oppnå dersom tillatt manglende overhøyde slik passasjerene opplever den, er \(I_\mathrm{p} = 100\) mm. Drøft deretter hvorfor den beregnede hastigheten fortsatt må kontrolleres mot grensene for kjøretøygodkjenning, sporkrefter og Bane NORs tekniske regelverk for det aktuelle rullende materiellet.
Oppgave 4: Hastighetsoptimalisering gjennom flere kurver
En eksisterende strekning består av tre kurver i rekkefølge. Radiusens fortegn angir kurveretningen; bruk radiusens absoluttverdi i hastighetsberegningene. Største tillatte manglende overhøyde er \(I_\mathrm{max}=100\) mm.
| Kurve | \(R\) (m) | \(L_t\) (m) | \(h\) (mm) |
|---|---|---|---|
| 1 | \(-1485\) | 240 | 100 |
| 2 | 2150 | 276 | 100 |
| 3 | 2400 | 300 | 30 |
Bruk \(\rho_\mathrm{max}=2{,}5\) mm/m, \(\Delta D_\mathrm{max}=35\) mm/s og \(\psi_\mathrm{max}=0{,}33\) m/s\(^3\). Bruk \(j_{u,\mathrm{max}}=0{,}85\) m/s\(^2\) som prosjektets maksimalt tillatte ukompenserte sideakselerasjon i rykkontrollen for overgangskurven.
(a) Beregn største hastighet for hver kurve, og identifiser dimensjonerende hastighet for hele strekningen.
(b) Kontroller om de oppgitte overgangslengdene er tilstrekkelige ved den største hastigheten i hver kurve.
(c) Overhøyden kan økes, men ikke til mer enn 150 mm. Foreslå endringer i overhøyden som maksimerer hastigheten på hele strekningen, og kontroller de kritiske overgangslengdene på nytt.
(d) Forklar hvorfor største beregnede hastighet ikke automatisk er den driftshastigheten som bør kunngjøres for strekningen.
Oppgave 5: Kontroll av overgangskurve for én kurve
En enkelt kurve har følgende geometri:
| Parameter | Verdi |
|---|---|
| Effektiv sporavstand | \(s = 1500\) mm |
| Radius | \(R = 1200\) m |
| Overgangslengde | \(L_t = 100\) m |
| Anvendt overhøyde | \(h = 150\) mm |
| Største manglende overhøyde | \(I_\mathrm{max} = 100\) mm |
| Største overskuddshøyde | \(I_{e,\mathrm{max}} = 70\) mm |
| Grense for rampestigning | \(\rho_\mathrm{max}=2{,}5\) mm/m |
| Grense for rampestigningshastighet | \(\Delta D_\mathrm{max}=35\) mm/s |
| Maksimalt tillatt ukompensert sideakselerasjon | \(j_{u,\mathrm{max}}=0{,}85\) m/s\(^2\) |
| Grense for rykk | \(\psi_\mathrm{max}=0{,}33\) m/s\(^3\) |
(a) Beregn største hastighet etter kontrollen av manglende overhøyde i sirkelkurven.
(b) Kontroller overgangslengden ved denne hastigheten. Dersom overgangskurven er for kort, beregn hastigheten som begrenses av overgangskurven, og identifiser dimensjonerende kriterium.
(c) Dersom den anvendte overhøyden reduseres til \(h=130\) mm av hensyn til langsom blandet trafikk, beregn minste hastighet etter grensen for overskuddshøyde.
(d) Vurder om dette er en robust utforming for blandet trafikk, og foreslå én geometrisk endring som vil forbedre den.
Oppgave 6: Vertikalkurve og geometrisk overlapp
Et lengdeprofil har en stigning på \(+8\) ‰ som møter et fall på \(-4\) ‰ i et høybrekk. Dimensjonerende hastighet på stedet er 160 km/h.
(a) Bestem normal og minste nødvendige vertikalkurveradius.
(b) Beregn tangentlengden \(T_v\) på hver side av stigningsbruddet.
(c) En overgangskurve for en horisontalkurve begynner 50 m før stigningsbruddet. Forklar hvorfor dette er problematisk, og hvordan det bør løses.